事象の発生する間隔についての確率密度分布 (指数分布)

ある事象が起こってから次の事象が起きるまでの時間をTとする． 事象が起こってからt時間までに次の事象が起きる確率は，tまでをn等分した時間を\(\Delta t=\frac{t}{n}\)として， “事象が\((k-1)\)回の\(\Delta t\)の間に発生しなかったのち次の\(k\)回目の\(\Delta t\)の間に発生する確率”の\(k=1\)から\(n\)までの和によって以下のように表すことができる (独立同分布の和によって決まる過程，単位時間当たりの事象の発生確率(個々の分布)を\(\lambda\)とする)． $$ \begin{eqnarray} P(T\leq t) &=&\lambda \Delta t + (1-\lambda \Delta t )\Delta t + (1-\lambda \Delta t )^2\Delta t + \cdots + (1-\lambda \Delta t )^{(n-1)}\Delta t\\ &=&\sum_{k=1}^n (\lambda \Delta t)(1-\lambda \Delta t )^{k-1}\\ \lambda\Delta t&&\Delta tの間に発生する確率\\ (1-\lambda \Delta t )\lambda\Delta t&&最初の\Delta t間に発生せず，次の\Delta tの間に発生する確率\\ (1-\lambda \Delta t )^2\lambda\Delta t&&2回の\Delta t間に発生せず，次の\Delta tの間に発生する確率\\ (1-\lambda \Delta t )^{n-1}\lambda\Delta t&&n-1回の\Delta t間に発生せず，次の\Delta tの間に発生する確率\\ \end{eqnarray} $$ 初項を\(\lambda \Delta t\)，公比を\((1-\lambda \Delta t )\)とする等比級数として上式は以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} P(T\leq t) &=&\lambda \Delta t + (1-\lambda \Delta t )\Delta t + (1-\lambda \Delta t )^2\Delta t + \cdots + (1-\lambda \Delta t )^{(n-1)}\Delta t\\ &=&\lambda \Delta t\frac{1-(1-\lambda \Delta t )^n}{1-(1-\lambda \Delta t )} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/05/blog-post_17.html}{\sum_{k=1}^{n}ar^{(k-1)}=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}}\\ &=&1-\left(1-\lambda \Delta t \right)^n\\ &=&1-\left(1-\lambda \frac{t}{n} \right)^n\;\cdots\;\Delta t=\frac{t}{n}\\ &=&1-\left(1+\frac{1}{-\frac{n}{\lambda t}} \right)^n\\ &=&1-\left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}} \right)^{\frac{-n}{\lambda t}\frac{\lambda t}{-n}}\right\}^n\\ &=&1-\left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}} \right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^{\frac{\lambda t}{-n} n}\\ &=&1-\left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}} \right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^{-\lambda t} \end{eqnarray} $$ ここでnを\(\infty\)に極限をとると収束数列によるネイピア数の定義より以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} 1-\left\{\left(1+\frac{1}{\frac{-n}{\lambda t}} \right)^{\frac{-n}{\lambda t}}\right\}^{-\lambda t} &=&1-\mathrm{e}^{-\lambda t} \;\cdots\; \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}\\ \end{eqnarray} $$ 上式は時刻tまでの累積分布凾数\(F(t)\)となる． 累積分布凾数を微分することで確率密度凾数を得ることができる． $$ \begin{eqnarray} F(t)&=&1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\\ f(t) &=&\frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{d}{t}}\\ &=&0-\left( -\lambda \mathrm{e}^{-\lambda t} \right)\\ &=&\lambda \mathrm{e}^{-\lambda t} \;\cdots\;指数分布 \end{eqnarray} $$