等比級数 (等比数列の和)

初項を\(a\)，公比を\(r\)とする数列の和，級数は以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} S_n&=&\sum_{k=1}^{n}ar^{(k-1)}&=&a+&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}&\\ rS_n&=&r\sum_{k=1}^{n}ar^{(k-1)}&=&&ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}&+ar^n\\ S_n-rS_n&=&a-ar^n\\ \left(1-r\right)S_n&=&a\left(1-r^n\right)\\ S_n&=&\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \end{eqnarray} $$