等比級数 (等比数列の和)

初項を$a$，公比を$r$とする数列の和，級数は以下のようになる． $$\begin{array}{rclrclr}{S}_n& =& \sum _{k=1}^{n}a{r}^{(k-1)}& =& a+& ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n-1}& \\ r{S}_n& =& r\sum _{k=1}^{n}a{r}^{(k-1)}& =& & ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n-1}& +a{r}^n\\ S_n-r{S}_n& =& a-a{r}^n\\ (1-r)S_n& =& a(1-r^n)\\ S_n& =& \frac{a(1-r^n)}{1-r}\end{array}$$