逆凾数の微分 (微分可能な凾数の逆凾数の微分)
凾数，逆凾数における独立変数の差と従属変数の差の関係
$$\begin{eqnarray}
y&=&f\left(x\right)\;\ldots\;微分可能な凾数
\\x&=&f^{-1}\left(y\right)\;\ldots\;f(x)の逆凾数
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
k&=&f\left(x+h\right)-f\left(x\right)
\\&&\;\ldots\;凾数において独立変数の差hがある際の従属変数の差をkとする
\\f\left(x\right)+k&=&y+k
\\&=&f\left(x+h\right)
\\x+h&=&f^{-1}\left(y+k\right)
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
x+h&=&f^{-1}\left(y+k\right)
\\h&=&f^{-1}\left(y+k\right)-x
\\&=&f^{-1}\left(y+k\right)-f^{-1}\left(y\right)
\\&&\;\ldots\;逆凾数において独立変数の差kがある際の従属変数の差がhである
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
\lim_{k\rightarrow0}f^{-1}\left(y+k\right)&=&f^{-1}\left(y\right)
\\h&=&\lim_{k\rightarrow0}\left(f^{-1}\left(y+k\right)-f^{-1}\left(y\right)\right)
\\&=&\left(\lim_{k\rightarrow0}f^{-1}\left(y+k\right)\right)-f^{-1}\left(y\right)
\\&=&f^{-1}\left(y\right)-f^{-1}\left(y\right)
\\&=&0
\\&&\;\ldots\;kを0に近づけることはhを0に近づけることと等しい
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
k&=&f\left(x+h\right)-f\left(x\right)
\\\lim_{h\rightarrow0}f\left(x+h\right)&=&f\left(x\right)
\\k&=&\lim_{h\rightarrow0}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)
\\&=&\left(\lim_{h\rightarrow0}f\left(x+h\right)\right)-f\left(x\right)
\\&=&f\left(x\right)-f\left(x\right)
\\&=&0
\\&&\;\ldots\;hを0に近づけることはkを0に近づけることと等しい
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
h\rightarrow0 \iff k\rightarrow0
\\\lim_{k\rightarrow0}\frac{h}{k}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{k}
\end{eqnarray}$$
逆凾数の微分
$$\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}&=&\lim_{k\rightarrow0}\frac{f^{-1}\left(y+k\right)-f^{-1}\left(y\right)}{k}
\\&=&\lim_{k\rightarrow0}\frac{x+h-x}{k}
\\&=&\lim_{k\rightarrow0}\frac{h}{k}
\\&=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{k}
\\&=&\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{\frac{k}{h}}
\\&=&\frac{1}{\lim_{h\rightarrow0}\frac{k}{h}}
\\&=&\frac{1}{\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}
\\&=&\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}
\end{eqnarray}$$
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