逆凾数の微分 (微分可能な凾数の逆凾数の微分)

逆凾数の微分 (微分可能な凾数の逆凾数の微分)

凾数，逆凾数における独立変数の差と従属変数の差の関係

$$\begin{array}{rcl}y& =& f\left(x\right)\dots \mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{な}\mathrm{凾}\mathrm{数}\\ x& =& f^{-1}\left(y\right)\dots f(x)\mathrm{の}\mathrm{逆}\mathrm{凾}\mathrm{数}\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}k& =& f(x+h)-f\left(x\right)\\ & & \dots \mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{独}\mathrm{立}\mathrm{変}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{差}h\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{際}\mathrm{の}\mathrm{従}\mathrm{属}\mathrm{変}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{差}\mathrm{を}k\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\\ f\left(x\right)+k& =& y+k\\ & =& f(x+h)\\ x+h& =& f^{-1}(y+k)\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}x+h& =& f^{-1}(y+k)\\ h& =& f^{-1}(y+k)-x\\ & =& f^{-1}(y+k)-f^{-1}\left(y\right)\\ & & \dots \mathrm{逆}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{て}\mathrm{独}\mathrm{立}\mathrm{変}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{差}k\mathrm{が}\mathrm{あ}\mathrm{る}\mathrm{際}\mathrm{の}\mathrm{従}\mathrm{属}\mathrm{変}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{差}\mathrm{が}h\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}\underset{k\to 0}{lim}{f}^{-1}(y+k)& =& f^{-1}\left(y\right)\\ h& =& \underset{k\to 0}{lim}(f^{-1}(y+k)-f^{-1}\left(y\right))\\ & =& \left(\underset{k\to 0}{lim}{f}^{-1}(y+k)\right)-f^{-1}\left(y\right)\\ & =& f^{-1}\left(y\right)-f^{-1}\left(y\right)\\ & =& 0\\ & & \dots k\mathrm{を}0\mathrm{に}\mathrm{近}\mathrm{づ}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}h\mathrm{を}0\mathrm{に}\mathrm{近}\mathrm{づ}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{と}\mathrm{等}\mathrm{し}\mathrm{い}\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}k& =& f(x+h)-f\left(x\right)\\ \underset{h\to 0}{lim}f(x+h)& =& f\left(x\right)\\ k& =& \underset{h\to 0}{lim}(f(x+h)-f\left(x\right))\\ & =& \left(\underset{h\to 0}{lim}f(x+h)\right)-f\left(x\right)\\ & =& f\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =& 0\\ & & \dots h\mathrm{を}0\mathrm{に}\mathrm{近}\mathrm{づ}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{は}k\mathrm{を}0\mathrm{に}\mathrm{近}\mathrm{づ}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{と}\mathrm{等}\mathrm{し}\mathrm{い}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}h\to 0⟺k\to 0\\ \underset{k\to 0}{lim}\frac{h}{k}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{k}\end{array}$$

逆凾数の微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}& =& \underset{k\to 0}{lim}\frac{f^{-1}(y+k)-f^{-1}\left(y\right)}{k}\\ & =& \underset{k\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{k}\\ & =& \underset{k\to 0}{lim}\frac{h}{k}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{k}\\ & =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{k}{h}}\\ & =& \frac{1}{\underset{h\to 0}{lim}\frac{k}{h}}\\ & =& \frac{1}{\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}}\\ & =& \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\end{array}$$