(sin(x)+3)/(cos(x)+2)の最大値最小値 (直線の傾きとして解く)
問い
(問いを知った動画) $$ \begin{eqnarray} \frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2}の\frac{-\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}における最大値最小値 \end{eqnarray} $$直線の傾きとして求める
(別解: 一階微分を用いて極値として解く)問いを知った動画の通り解いてみる．
与式を直線の傾きとみて幾何の問題として解く
$$ \begin{eqnarray} k&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2} \\&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}-(-3)}{\cos{\left(\theta\right)}-(-2)} \\&&\;\cdots\;点(\cos{\left(\theta\right)},\sin{\left(\theta\right)})と点(-2,-3)を通る直線lの傾き \end{eqnarray} $$直線の方程式
$$ \begin{eqnarray} \\y-(-3)&=&k(x-(-2)) \\0&=&kx-y+2k-3 \;\cdots\;ax+by+c=0の形での直線lの式 \end{eqnarray} $$ \(点(\cos{\left(\theta\right)},\sin{\left(\theta\right)})\)は原点を中心とした半径1の円(単位円)上の点を意味する．よってこの直線\(l\)は，点(-2,-3)から半径1の円(単位円)への接線ということになる．
この接線は円の中心点(原点)からの距離が1となる直線である．
点と直線の距離
$$ \begin{eqnarray} \\d&=&\frac{\left|ap+bq+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/06/blog-post_11.html}{直線ax+by+c=0と点(p,q)との距離dの式} \\1&=&\frac{\left|k\cdot0-1\cdot0+2k-3\right|}{\sqrt{k^2+(-1)^2}}\;\cdots\;ここでは(p,q)は原点なので(0,0) \\&=&\frac{\left|2k-3\right|}{\sqrt{k^2+1}} \\\sqrt{k^2+1}&=&\left|2k-3\right| \\k^2+1&=&(2k-3)^2 \\&=&4k^2-12k+9 \\0&=&3k^2-12k+8 \;\cdots\;単位円に円の外の点から接線を引くと2つの直線l_{1,2}が引けるため傾きも2つ得られる \end{eqnarray} $$二次方程式の解(の公式)
$$ \begin{eqnarray} \\k_{l_{1,2}}&=&\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot3\cdot8}}{2\cdot3} \;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/11/blog-post.html}{ax^2+bx+c=0においてx=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} \\&=&\frac{12\pm\sqrt{144-96}}{6} \\&=&\frac{12\pm\sqrt{48}}{6} \\&=&\frac{12\pm4\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{6\pm2\sqrt{3}}{3} \\&=&\frac{2}{3}(3\pm\sqrt{3}) \end{eqnarray} $$解と図との対応
$$ \begin{eqnarray} \\k_{l_1}&=&\frac{2}{3}(3+\sqrt{3}) \\k_{l_2}&=&\frac{2}{3}(3-\sqrt{3}) \\k_{l_1}&\gt&k_{l_2}\;\cdots\;よって傾きの大小関係から図中l_1の傾きk_{l_1}であり,l_2の傾きがk_{l_2}である \end{eqnarray} $$ 図より\(l_1\)の接点位置の角度\(\theta_1\)は\(\frac{\pi}{2}\)を超えているので範囲外となり，点\((0,1)\)を通る直線\(j\)の傾きが最大値となる． $$ \begin{eqnarray} k_{j}&=&\frac{\sin{\left(\theta\right)}+3}{\cos{\left(\theta\right)}+2} &=&\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}+3}{\cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}+2} &=&\frac{1+3}{0+2} &=&\frac{4}{2} &=&2 \end{eqnarray} $$答え
以上より与式の最大値最小値はそれぞれ，最大値\(2\)，最小値\(\frac{2}{3}\left(3-\sqrt{3}\right)\)となる．確認:角度\(\theta_{1,2}\)を求める
直交する直線の傾き
直線\(l\)と直交する直線\(l^{\prime}\)の傾き\(s\)が\(\tan{\left(\theta\right)}\)となる． また直交する直線同士の傾きは掛け合わせると-1となる． $$ \begin{eqnarray} k_{1}\cdot s_{1}&=&-1 \\s_1&=&\frac{-1}{k_{1}} \\k_{2}\cdot s_{2}&=&-1 \\s_2&=&\frac{-1}{k_{2}} \end{eqnarray} $$\(s_1\)から\(\theta_{1}\)を求める
直線\(l_1\)と直交する直線\(l_1^{\prime}\)の傾き\(s_1\)を求める． $$ \begin{eqnarray} \\s_1&=&\frac{-1}{k_1} \\&=&\frac{-1}{\frac{2}{3}(3+\sqrt{3})} \;\cdots\;k_1=\frac{2}{3}(3+\sqrt{3}) \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3+\sqrt{3}}\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{9-3} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3+\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{3}{2}\frac{1}{6}\left(-3+\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{1}{4}\left(-3+\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\lt0 \\\theta_1&=&\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right),\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \;\cdots\;\tan^{-1}の値域を\frac{-\pi}{2}から\frac{\pi}{2}とする \end{eqnarray} $$ \(s_1\)が負の値ということは\(s_1=\tan\left(\theta_1\right)\)とした際の\(\theta_1\)は単位円第二,四象限上の点の角度となる．が，図よりこの角度は単位円第二象限上の点の角度なので\(\theta_1=\tan^{-1}\left(s_1\right)+\pi=\tan^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{3}}{4}\right)+\pi\)となる．
\(s_2\)から\(\theta_{2}\)を求める
直線\(l_2\)と直交する直線\(l_2^{\prime}\)の傾き\(s_2\)を求める． $$ \begin{eqnarray} \\s_2&=&\frac{-1}{k_2} \\&=&\frac{-1}{\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})} \;\cdots\;k_2=\frac{2}{3}(3-\sqrt{3}) \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-1}{3-\sqrt{3}}\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{9-3} \\&=&\frac{3}{2}\frac{-3-\sqrt{3}}{6} \\&=&\frac{3}{2}\frac{1}{6}\left(-3-\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{1}{4}\left(-3-\sqrt{3}\right) \\&=&\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\lt0 \\\theta_2&=&\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right),\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)+\pi \;\cdots\;\tan^{-1}の値域を\frac{-\pi}{2}から\frac{\pi}{2}とする \end{eqnarray} $$ \(s_2\)が負の値ということは\(s_2=\tan\left(\theta_2\right)\)とした際の\(\theta_2\)は単位円第二,四象限上の点の角度となる．が，図よりこの角度は単位円第四象限上の点の角度なので\(\theta_2=\tan^{-1}\left(s_2\right)=\tan^{-1}\left(\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\right)\)となる．
実対称行列を回転行列(実直交行列)と実対角行列で表現する
$$\begin{eqnarray}
S_{2}&=&\begin{bmatrix}
x & y \\
y & z
\end{bmatrix}
\;\cdots\;S_{2}:x,y,zを実数とする2\times2の実対称行列
\\&&\:\cdots\;\small{実対称行列:S_{2}=S_{2}^T(対称行列),S_{2}=S_{2}^{*}(実行列(各要素の複素共役が変わらない,虚部が0))}
\\
\\R(\theta)&=&\begin{bmatrix}
\cos\left(\theta\right) & -\sin\left(\theta\right) \\
\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\\R(\theta)^T&=&\begin{bmatrix}
\cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right) \\
-\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\cos\left(-\theta\right) & -\sin\left(-\theta\right) \\
\sin\left(-\theta\right) & \cos\left(-\theta\right)
\end{bmatrix}
=R(-\theta)\;\cdots\;逆回転
\\R(\theta)R(\theta)^T&=&R(\theta)^TR(\theta)=I
\;\cdots\;R(\theta):直交行列(特に各要素の複素共役が変わらないので実直交行列)
\\
\\\Lambda&=&\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{bmatrix}
\;\cdots\;\lambda_1,\lambda_2はS_{2}の固有値
\\&&\;\cdots\;対角行列(特に各要素の複素共役が変わらない場合，実対角行列)
\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}
S_{2}&=&R(\theta) \Lambda R(\theta)^T
\\&=&\begin{bmatrix}
\cos\left(\theta\right) & -\sin\left(\theta\right) \\
\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right) \\
-\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\\&=&\begin{bmatrix}
\lambda_1\cos\left(\theta\right) & -\lambda_2\sin\left(\theta\right) \\
\lambda_1\sin\left(\theta\right) & \lambda_2\cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right) \\
-\sin\left(\theta\right) & \cos\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\\&=&\begin{bmatrix}
\lambda_1\cos^2\left(\theta\right) +\lambda_2\sin^2\left(\theta\right) & \left(\lambda_1-\lambda_2\right)\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right) \\
\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right) & \lambda_1\sin^2\left(\theta\right) +\lambda_2\cos^2\left(\theta\right)
\end{bmatrix}
\\
\\x&=&\lambda_1\cos^2\left(\theta\right) +\lambda_2\sin^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}2\left\{\lambda_1\cos^2\left(\theta\right) +\lambda_2\sin^2\left(\theta\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{2\lambda_1\cos^2\left(\theta\right) +2\lambda_2\sin^2\left(\theta\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(\cos^2\left(\theta\right)+1-\sin^2\left(\theta\right)\right) +\lambda_2\left(\sin^2\left(\theta\right)+1-\cos^2\left(\theta\right)\right)\right\}
\;\cdots\;\cos^2\left(\theta\right)=1-\sin^2\left(\theta\right),\;\sin^2\left(\theta\right)=1-\cos^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(\cos^2\left(\theta\right)+1-\sin^2\left(\theta\right)\right) +\lambda_2\left(1-\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(\cos\left(2\theta\right)+1\right) +\lambda_2\left(1-\cos\left(2\theta\right)\right)\right\}
\;\cdots\;\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left\{ \lambda_1 \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2-\lambda_2\cos\left(2\theta\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{ \left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2\right\}
\\y&=&\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}2\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\sin\left(2\theta\right)
\;\cdots\;\sin\left(2\theta\right)=2\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)
\\z&=&\lambda_1\sin^2\left(\theta\right) +\lambda_2\cos^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}2\left\{\lambda_1\sin^2\left(\theta\right) +\lambda_2\cos^2\left(\theta\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{2\lambda_1\sin^2\left(\theta\right) +2\lambda_2\cos^2\left(\theta\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(\sin^2\left(\theta\right)+1-\cos^2\left(\theta\right)\right) +\lambda_2\left(\cos^2\left(\theta\right)+1-\sin^2\left(\theta\right)\right)\right\}
\;\cdots\;\sin^2\left(\theta\right)=1-\cos^2\left(\theta\right),\;\cos^2\left(\theta\right)=1-\sin^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(1-\left(\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)\right)\right) +\lambda_2\left(\cos^2\left(\theta\right)+1-\sin^2\left(\theta\right)\right)\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1\left(1-\cos\left(2\theta\right)\right) +\lambda_2\left(\cos\left(2\theta\right)+1\right)\right\}
\;\cdots\;\cos\left(2\theta\right)=\cos^2\left(\theta\right)-\sin^2\left(\theta\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left\{\lambda_1-\lambda_1\cos\left(2\theta\right) + \lambda_2\cos\left(2\theta\right)+\lambda_2\right\}
\\&=&\frac{1}{2}\left\{ -\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2\right\}
\end{eqnarray}$$
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
x&=&\frac{1}{2}\left\{ \left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2\right\}
\\y&=&\frac{1}{2}\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\sin\left(2\theta\right)
\\z&=&\frac{1}{2}\left\{ -\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2\right\}
\end{eqnarray}
\right.
$$
$$\begin{eqnarray}
2x&=& \left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2
\\2z&=&-\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2
\\2x-2z&=&\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2 - \left\{-\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2\right\}
\\2(x-z)&=&\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)+\lambda_1+\lambda_2 + \left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)-\lambda_1-\lambda_2
\\2(x-z)&=&2\left( \lambda_1-\lambda_2\right) \cos\left(2\theta\right)
\\\cos\left(2\theta\right)&=&\frac{x-z}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{x-z}{\sqrt{(x-z)^2+4y^2}}
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/11/2x2.html}{\lambda_{1}-\lambda_{2}=\sqrt{(x-z)^2+4y^2}}
\\\sin\left(2\theta\right)&=&\frac{2y}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{2y}{\sqrt{(x-z)^2+4y^2}}
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/11/2x2.html}{\lambda_{1}-\lambda_{2}=\sqrt{(x-z)^2+4y^2}}
\end{eqnarray}$$
\(\lambda_1,\lambda_2\)だけでなく\(\theta\)も\(x,y,z\)により一意に決まる．
二次方程式の解の公式
$$\begin{eqnarray}
ax^2+bx+c&=&0
\\x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=&0
\\x^2+\frac{b}{a}x+\color{red}{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2}\color{black}{}+\frac{c}{a}&=&0
\;\cdots\;\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2=0
\\x^2+\color{red}{2}\color{black}{}\frac{b}{\color{red}{2}\color{black}{}a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\frac{4a}{4a}&=&0
\\\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}&=&0
\;\cdots\;(x+a)^2=x^2+2ax+a^2
\\\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=&0
\\\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=&\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\\x+\frac{b}{2a}&=&\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
\\x&=&-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
\\&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{eqnarray}$$
2x2対称行列の固有値の差
$$\begin{eqnarray}
S_2&=&\begin{bmatrix}
x & y \\
y & z
\end{bmatrix}
\;\cdots\;S:対称行列
\\det\left(S-\lambda I\right)
&=&\begin{bmatrix}
x - \lambda & y \\
y & z - \lambda
\end{bmatrix}
\\&=&\left(x - \lambda\right)\left(z - \lambda\right)-y^2
\\&=&\lambda^2-(x+z)\lambda+xz-y^2
\\\lambda_{1,2}
&=&\frac{-\left\{ -(x+z) \right\}\pm\sqrt{\left\{-(x+z)\right\}^2-4\left(xz-y^2\right)}}{2}
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2020/11/blog-post.html}{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}
\\&=&\frac{1}{2}\left(x+z \pm \sqrt{\left\{-(x+z)\right\}^2-4\left(xz-y^2\right)}\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left(x+z \pm \sqrt{x^2+2xz+z^2-4xz+4y^2}\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left(x+z \pm \sqrt{x^2-2xz+z^2+4y^2}\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left(x+z \pm \sqrt{(x-z)^2+4y^2}\right)
\\\lambda_{1}-\lambda_{2}&=&\frac{1}{2}\left(x+z + \sqrt{(x-z)^2+4y^2}\right) - \frac{1}{2}\left(x+z - \sqrt{(x-z)^2+4y^2}\right)
\;\cdots\;\lambda_{1}\gt\lambda_{2}とする
\\&=&\frac{1}{2}\left(x+z + \sqrt{(x-z)^2+4y^2} - x -z + \sqrt{(x-z)^2+4y^2}\right)
\\&=&\frac{1}{2}\left(2\sqrt{(x-z)^2+4y^2}\right)
\\&=&\sqrt{(x-z)^2+4y^2}
\end{eqnarray}$$
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