確率変数の変数変換 Z=X/Y

確率変数の変数変換 Z=X/Y

Z=X/Y

$$\begin{array}{rcl}{p}_{X/Y}(z)& =& \int \int \delta (z-\frac{x}{y})f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)f(x)\mathrm{d}x=f(0)\\ & & \cdots X=x,Y=y\mathrm{の}\mathrm{同}\mathrm{時}\mathrm{確}\mathrm{率}f(x)g(x)\mathrm{の}\mathrm{う}\mathrm{ち}z-\left(\frac{x}{y}\right)=0\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る}.\\ & =& \int \int \left|y\right|\delta (x-yz)f\left(x\right)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \cdots \delta (u(x))=\sum _{\alpha \in u^{-1}(0)}\frac{1}{|u^{\prime }(\alpha )|}\delta (x-\alpha )\\ & & \cdots u(x)=z-\frac{x}{y}\\ & & \cdots u(x=\alpha )=0,\alpha =yz\\ & & \cdots u^{\prime }=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(z-\frac{x}{y})=-\frac{1}{y}\\ & & \cdots \delta (z-\frac{x}{y})=\frac{1}{|u^{\prime }(\alpha )|}\delta (x-\alpha )=\frac{1}{|-\frac{1}{y}|}\delta (x-yz)=\frac{1}{\left|\frac{1}{y}\right|}\delta (x-yz)=\left|y\right|\delta (x-yz)\\ & =& \int |y|\delta (yz-yz)f\left(yz\right)g(y)\mathrm{d}y\cdots z=\frac{x}{y},x=yz\\ & =& \int |y|\delta \left(0\right)f\left(yz\right)g(y)\mathrm{d}y\\ & =& \int |y|f(yz)g(y)\mathrm{d}y\cdots \delta \mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{引}\mathrm{数}\mathrm{が}\mathrm{全}\mathrm{域}\mathrm{で}0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}，\mathrm{全}\mathrm{域}\mathrm{で}|y|f(yz)g(y)\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}.\end{array}$$

標準正規分布同士の例

$$\begin{array}{rcl}{f}_X(x)& =& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\cdots N(0,1)(\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{正}\mathrm{規}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ g_Y(y)& =& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\cdots N(0,1)(\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{正}\mathrm{規}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ p_{X/Y}(z)& =& \int \int \delta (z-\frac{x}{y})f_X(x)g_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& \int \int \delta (z-\frac{x}{y})\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(yz\right)}^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\cdots z=\frac{x}{y},x=yz\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\frac{{\left(yz\right)}^2}{2}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\frac{{\left(yz\right)}^2}{2}-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\cdots A^B{A}^C=A^{B+C}\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y\\ & =& \frac{1}{2\pi }\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\left|y\right|e^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y\}\\ & & \cdots {\int }_A^{B}f(x)\mathrm{d}x={\int }_A^{C}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_C^{B}f(x)\mathrm{d}x(\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}A\le C\le B)\\ & =& \frac{1}{2\pi }\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0-y{e}^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y\}\cdots \left|A\right|=\{\begin{array}{}A& (A\ge 0)\\ -A& (A<0)\end{array}\\ & =& \frac{1}{2\pi }2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y\\ & & \cdots y=x\mathrm{が}\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{で}y=e^{-\frac{x^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{が}\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}.\\ & & \cdots \mathrm{負}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(-\mathrm{\infty },0)\mathrm{と}\mathrm{正}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(0,\mathrm{\infty })\mathrm{で}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{が}\mathrm{逆}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{は}\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{に}\mathrm{扱}\mathrm{え}\mathrm{る}.\\ & & \cdots -f_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}(-\mathrm{\infty },0)}(x)+f_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}(0,\mathrm{\infty })}(x)=f_{\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x\\ & & \cdots \mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}(-a,a)\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{は}\mathrm{正}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(0,a)\mathrm{の}2\mathrm{倍}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{る}.\\ & & \cdots {\int }_{-a}^a{f}_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^a{f}_{\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-\frac{y^2(z^2+1)}{2}}\mathrm{d}y\\ & =& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-t}\cdot \frac{1}{(z^2+1)y}\mathrm{d}t\\ & & \cdots t=\frac{y^2(z^2+1)}{2},\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=\frac{(z^2+1)}{2}2y=(z^2+1)y,\mathrm{d}y=\frac{1}{(z^2+1)y}\mathrm{d}t\\ & =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{(z^2+1)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\mathrm{d}t\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{(z^2+1)}\cdot 1\cdots {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\mathrm{d}t={[-e^{-t}]}_0^{\mathrm{\infty }}=[(-e^{-\mathrm{\infty }})-(-e^0)]=[0+1]=1\\ & =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{(z^2+1)}\cdots \mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{コ}\mathrm{ー}\mathrm{シ}\mathrm{ー}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{に}\mathrm{等}\mathrm{し}\mathrm{い}.\\ f(x;x_0,\gamma )& =& \frac{1}{\pi }\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\cdots \mathrm{コ}\mathrm{ー}\mathrm{シ}\mathrm{ー}\mathrm{分}\mathrm{布}(Cauchydistribution)\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{凾}\mathrm{数}\\ f(x;0,1)& =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{(x-0{)}^2+1^2}\cdots \mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{コ}\mathrm{ー}\mathrm{シ}\mathrm{ー}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{の}\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{凾}\mathrm{数}\\ & =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{x^2+1}\end{array}$$

指数分布同士の例

$$\begin{array}{rcl}{f}_X(x)& =& \lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0,\lambda >0)\\ g_Y(y)& =& \lambda e^{-\lambda y}(x\ge 0,\lambda >0)\\ p_{X/Y}(z)& =& \int \int \delta (x-\frac{z}{y})f_X(x)g_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& \int \int \delta (x-\frac{z}{y})\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|\lambda e^{-\lambda yz}\lambda e^{-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots z=\frac{x}{y},x=yz\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\lambda yz}{e}^{-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\lambda yz-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots A^B{A}^C=A^{B+C}\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left|y\right|e^{-\lambda y(z+1)}\mathrm{d}y\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}y{e}^{-\lambda y(z+1)}\mathrm{d}y\cdots y>0(\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{範}\mathrm{囲}\mathrm{よ}\mathrm{り})\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t}{\lambda (z+1)}{e}^{-t}\frac{1}{\lambda (z+1)}\mathrm{d}t\\ & & \cdots t=\lambda (z+1)y,y=\frac{t}{\lambda (z+1)}\\ & & \cdots \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=\lambda (z+1),\mathrm{d}y=\frac{1}{\lambda (z+1)}\mathrm{d}t\\ & =& {\lambda }^2{\left\{\frac{1}{\lambda (z+1)}\right\}}^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-t}\mathrm{d}t\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-t}\mathrm{d}t\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}t{(-e^{-t})}^{\prime }\mathrm{d}t\cdots {(-e^{-t})}^{\prime }=e^{-t}\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}\{{[-t{e}^{-t}]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-e^{-t}\mathrm{d}t\}\cdots {\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)\mathrm{d}x={[f(x)g(x)]}_a^b-{\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}\{[-(\mathrm{\infty })e^{-\mathrm{\infty }}-(-0e^{-0})]+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\mathrm{d}t\}\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}(0+1)\cdots {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\mathrm{d}t={[-e^{-t}]}_0^{\mathrm{\infty }}=[(-e^{-\mathrm{\infty }})-(-e^0)]=[0+1]=1\\ & =& \frac{1}{{(z+1)}^2}\end{array}$$