確率変数の変数変換 Z=XY

確率変数の変数変換 Z=XY

Z=XY

$$\begin{array}{rcl}{p}_{XY}(z)& =& \int \int \delta (z-xy)f(x)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)f(x)\mathrm{d}x=f(0)\\ & & \cdots X=x,Y=y\mathrm{の}\mathrm{同}\mathrm{時}\mathrm{確}\mathrm{率}f(x)g(x)\mathrm{の}\mathrm{う}\mathrm{ち}z-(xy)=0\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{も}\mathrm{の}\mathrm{だ}\mathrm{け}\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る}.\\ & =& \int \int \frac{1}{|y|}\delta (x-\frac{z}{y})f\left(x\right)g(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \cdots \delta (u(x))=\sum _{\alpha \in u^{-1}(0)}\frac{1}{|u^{\prime }(\alpha )|}\delta (x-\alpha )\\ & & \cdots u(x)=z-xy\\ & & \cdots u(x=\alpha )=0,\alpha =\frac{z}{y}\\ & & \cdots u^{\prime }=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(z-xy)=-y\\ & & \cdots \delta (z-xy)=\frac{1}{|u^{\prime }(\alpha )|}\delta (x-\alpha )=\frac{1}{|-y|}\delta (x-\frac{z}{y})=\frac{1}{|y|}\delta (x-\frac{z}{y})\\ & =& \int \frac{1}{|y|}\delta (\frac{z}{y}-\frac{z}{y})f\left(\frac{z}{y}\right)g(y)\mathrm{d}y\cdots z=xy,x=\frac{z}{y}\\ & =& \int \frac{1}{|y|}\delta \left(0\right)f\left(\frac{z}{y}\right)g(y)\mathrm{d}y\\ & =& \int \frac{1}{|y|}f\left(\frac{z}{y}\right)g(y)\mathrm{d}y\cdots \delta \mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{引}\mathrm{数}\mathrm{が}\mathrm{全}\mathrm{域}\mathrm{で}0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}，\mathrm{全}\mathrm{域}\mathrm{で}\frac{1}{|y|}f\left(\frac{z}{y}\right)g(y)\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}.\end{array}$$

標準正規分布同士の例

$$\begin{array}{rcl}{f}_X(x)& =& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\cdots N(0,1)(\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{正}\mathrm{規}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ g_Y(y)& =& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\cdots N(0,1)(\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{正}\mathrm{規}\mathrm{分}\mathrm{布})\\ p_{XY}(z)& =& \int \int \delta (z-xy)f_X(x)g_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& \int \int \delta (z-xy)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(\frac{z}{y}\right)}^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\cdots z=xy,x=\frac{z}{y}\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\frac{{\left(\frac{z}{y}\right)}^2}{2}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y\\ & =& \frac{1}{2\pi }\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{|y|}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y\}\\ & & \cdots {\int }_A^{B}f(x)\mathrm{d}x={\int }_A^{C}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_C^{B}f(x)\mathrm{d}x(\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}A\le C\le B)\\ & =& \frac{1}{2\pi }\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0-\frac{1}{y}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{y}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y\}\\ & & \cdots \frac{1}{|y|}=-\frac{1}{y}(y<0),\frac{1}{|y|}=\frac{1}{y}(0<y)\\ & =& \frac{1}{2\pi }2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{y}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y\\ & & \cdots y=\frac{1}{x}\mathrm{が}\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{で}y=e^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{x^2}+x^2)}\mathrm{が}\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{そ}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}.\\ & & \cdots \mathrm{負}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(-\mathrm{\infty },0)\mathrm{と}\mathrm{正}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(0,\mathrm{\infty })\mathrm{で}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{が}\mathrm{逆}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{全}\mathrm{体}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{は}\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{に}\mathrm{扱}\mathrm{え}\mathrm{る}.\\ & & \cdots -f_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}(-\mathrm{\infty },0)}(x)+f_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}(0,\mathrm{\infty })}(x)=f_{\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{付}\mathrm{き}\mathrm{で}\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x\\ & & \cdots \mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}(-a,a)\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{は}\mathrm{正}\mathrm{の}\mathrm{区}\mathrm{間}(0,a)\mathrm{の}2\mathrm{倍}\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{る}.\\ & & \cdots {\int }_{-a}^a{f}_{\mathrm{奇}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^a{f}_{\mathrm{偶}\mathrm{凾}\mathrm{数}}(x)\mathrm{d}x\\ & =& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{y}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{z^2}{y^2}+y^2)}\mathrm{d}y\\ & =& \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1}{2}\{\frac{z^2}{y^2}+y^2\}}\frac{\mathrm{d}t}{2t}\\ & & \cdots t=\frac{y^2}{2},y^2=2t,y:0\to \mathrm{\infty },t:0\to \mathrm{\infty }\\ & & \cdots \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}=y=\frac{y^2}{y}=\frac{2t}{y},\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{\mathrm{d}t}{2t}\\ & =& \frac{1}{\pi }\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t}{e}^{-\frac{1}{2}\{\frac{z^2}{2t}+2t\}}\mathrm{d}t\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t}{e}^{-t-\frac{z^2}{4t}}\mathrm{d}t\\ & & \cdots K_n(z)=\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-n-1}{e}^{-t-\frac{z^2}{4t}}\mathrm{d}t(\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{種}\mathrm{変}\mathrm{形}\mathrm{ベ}\mathrm{ッ}\mathrm{セ}\mathrm{ル}\mathrm{凾}\mathrm{数})\\ & & \cdots K_0(z)=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-1}{e}^{-t-\frac{z^2}{4t}}\mathrm{d}t\\ & =& \frac{1}{\pi }{K}_0(z)\end{array}$$

指数分布同士の例

$$\begin{array}{rcl}{f}_X(x)& =& \lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0,\lambda >0)\\ g_Y(y)& =& \lambda e^{-\lambda y}(x\ge 0,\lambda >0)\\ p_{XY}(z)& =& \int \int \delta (x-xy)f_X(x)g_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& \int \int \delta (x-xy)\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}\lambda e^{-\lambda \left(\frac{z}{y}\right)}\lambda e^{-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots z=xy,x=\frac{z}{y}\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\lambda \left(\frac{z}{y}\right)}{e}^{-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\lambda \left(\frac{z}{y}\right)-\lambda y}\mathrm{d}y\cdots A^B{A}^C=A^{B+C}\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|y|}{e}^{-\lambda (\frac{z}{y}+y)}\mathrm{d}y\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|\frac{t}{\lambda }|}{e}^{-\lambda (\frac{z}{\frac{t}{\lambda }}+\frac{t}{\lambda })}\frac{1}{\lambda }\mathrm{d}t\\ & & \cdots t=\lambda y,y=\frac{t}{\lambda },\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\lambda },\mathrm{d}y=\frac{1}{\lambda }\mathrm{d}t,y:0\to \mathrm{\infty },t:0\to \mathrm{\infty }\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\lambda |}{|t|}{e}^{-{\lambda }^2\frac{z}{t}-t}\frac{1}{\lambda }\mathrm{d}t\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{|\lambda |}{\lambda }\frac{1}{|t|}{e}^{-{\lambda }^2\frac{z}{t}-t}\mathrm{d}t\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|t|}{e}^{-{\lambda }^2\frac{z}{t}-t}\mathrm{d}t\cdots \lambda >0\\ & =& {\lambda }^2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t}{e}^{-{\lambda }^2\frac{z}{t}-t}\mathrm{d}t\cdots t>0(\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{範}\mathrm{囲}\mathrm{よ}\mathrm{り})\\ & =& 2{\lambda }^2{K}_0(2\lambda \sqrt{z})\\ & & \cdots K_n(z)=\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-n-1}{e}^{-t-\frac{z^2}{4t}}\mathrm{d}t(\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{種}\mathrm{変}\mathrm{形}\mathrm{ベ}\mathrm{ッ}\mathrm{セ}\mathrm{ル}\mathrm{凾}\mathrm{数})\\ & & \cdots K_0(z)=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-1}{e}^{-t-\frac{z^2}{4t}}\mathrm{d}t\end{array}$$