確率変数の標準化

確率変数の標準化

期待値(平均)が$\mu$, 分散が${\sigma }^2$の確率変数$X$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{E}\left[X\right]& =& \mu \\ \mathrm{V}\left[X\right]& =& {\sigma }^2\end{array}$$

確率変数の変換$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

$$\begin{array}{r}\\ Z& =& \frac{X-\mu }{\sigma }\end{array}$$

変換後の確率変数$Z$の期待値(平均)と分散

$$\begin{array}{r}\\ \mathrm{E}\left[Z\right]& =& \mathrm{E}\left[\frac{X-\mu }{\sigma }\right]\\ & =& \frac{1}{\sigma }\mathrm{E}[X-\mu ]\cdots \mathrm{E}\left[cX\right]=c\mathrm{E}\left[X\right]\\ & =& \frac{1}{\sigma }(\mathrm{E}\left[X\right]-\mu )\cdots \mathrm{E}[X\pm t]=\mathrm{E}\left[X\right]\pm t\\ & =& \frac{1}{\sigma }(\mu -\mu )\cdots \mathrm{E}\left[X\right]=\mu \\ & =& \frac{1}{\sigma }\left(0\right)\\ & =& 0\\ \mathrm{V}\left[Z\right]& =& \mathrm{V}\left[\frac{X-\mu }{\sigma }\right]\\ & =& \frac{1}{{\sigma }^2}\mathrm{V}[X-\mu ]\cdots \mathrm{V}\left[cX\right]=c^2\mathrm{V}\left[X\right]\\ & =& \frac{1}{{\sigma }^2}\mathrm{V}\left[X\right]\cdots \mathrm{V}[X\pm t]=\mathrm{V}\left[X\right]\\ & =& \frac{1}{{\sigma }^2}{\sigma }^2\cdots \mathrm{V}\left[X\right]={\sigma }^2\\ & =& 1\end{array}$$ $X$の分布によらず，$X$の期待値(平均)と分散が$\mu$と${\sigma }^2$であることから$Z$の期待値(平均)と分散が$0$, $1$と標準化される．