間違いしかありません.コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください).

単回帰モデルの最尤推定量の期待値,分散,分布

単回帰モデルの最尤推定量の期待値,分散,分布

単回帰モデル

yi=α+βxi+ϵi(i=1,,n)ϵiiidN(0,σ2)(independentandidenticallydistributed;IID,i.i.d.,iid) α,β,σ2の推定量をα^,β^,σ^2とし,α^,β^,σ^2の最尤推定量(maximum likelihood estimator)をα^ML,β^ML,σ^ML2とする.

β^MLの期待値

E[β^ML]=E[β^]β^ML=β^=βE[β^]=ββ^ML2β2.

α^MLの期待値

E[α^ML]=E[α^]α^ML=α^=αE[α^]=αα^ML2α2.

β^MLの分散

V[β^ML]=V[β^]=1Sxxσ2V[β^]=1Sxxσ2x¯=1ni=0nxi,Sxx=i=0n(xix¯)2

α^MLの分散

V[α^ML]=V[α^]=(1n+x¯2Sxx)σ2V[α^]=(1n+x¯2Sxx)σ2

α^ML,β^MLの分布

β^ML=β^N(β,1Sxxσ2)β^N(β,1Sxxσ2)α^ML=α^N(α,(1n+x¯2Sxx)σ2)α^N(α,(1n+x¯2Sxx)σ2)

σ^ML2の期待値

E[σ^ML2]=E[n2ns2]σ^ML2=n2ns2,s2=1(n2)i=1nei2,i=1nei2=i=1n(yiyi^)2=n2nE[s2]=n2nσ2E[s2]=σ2<σ2σ^ML2σ2.

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