式展開: 2点を補間した位置への回転操作のための三角凾数

2点を補間した位置への回転操作のための三角凾数

2点を補間した位置への回転操作のための三角凾数

原 点 O を 中 心 と し た 等 距 離 R 上 の 点 P の 点 P_{1} か ら 点 P_{2} へ の 移 動 (半 径 R の 円 周 上) を 考 え る . \vec{O P_{1}} と \vec{O P_{2}} の な す 角 を θ と す る .

\begin{array}{rcl} | \vec{O P} | & = & | \vec{O P_{1}} | = | \vec{O P_{2}} | = R \\ \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}} & = & | \vec{O P_{1}} | | \vec{O P_{2}} | \cos (θ) \end{array}

パラメータ

t

(ただし

t

は

0 \leq t \leq 1

の実数)を用いて

\vec{O P}

との関係(内積)を求めると以下のようになる

\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O P_{1}} & = & | \vec{O P} | | \vec{O P_{1}} | \cos (t θ) \\ = & R^{2} \cos (t θ) \cdot た だ し t は 0 \leq t \leq 1 の 実 数 \\ \vec{O P} \cdot \vec{O P_{2}} & = & | \vec{O P} | | \vec{O P_{2}} | \cos ((1 - t) θ) \\ = & R^{2} \cos ((1 - t) θ) \end{array}

\vec{O P} = α \vec{O P_{1}} + β \vec{O P_{2}}

で表すと仮定する．

\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O P_{1}} & = & (α \vec{O P_{1}} + β \vec{O P_{2}}) \cdot \vec{O P_{1}} \\ = & α \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{1}} + β \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{1}} \\ = & α | \vec{O P_{1}} | | \vec{O P_{1}} | \cos (0) + β | \vec{O P_{1}} | | \vec{O P_{2}} | \cos (θ) \\ = & α R^{2} \cdot 1 + β R^{2} \cos (θ) \\ = & R^{2} (α + β \cos (θ)) \\ \vec{O P} \cdot \vec{O P_{2}} & = & (α \vec{O P_{1}} + β \vec{O P_{2}}) \cdot \vec{O P_{2}} \\ = & α \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}} + β \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{2}} \\ = & α | \vec{O P_{1}} | | \vec{O P_{2}} | \cos (θ) + β | \vec{O P_{2}} | | \vec{O P_{2}} | \cos (0) \\ = & α R^{2} \cos (θ) + β R^{2} \cdot 1 \\ = & R^{2} (α \cos (θ) + β) \end{array}

以上より以下の連立方程式が作れる．

{\begin{aligned} α + β \cos (θ) & = & \cos (t θ) \\ α \cos (θ) + β & = & \cos ((1 - t) θ) \end{aligned}

連立方程式を解く．

\begin{array}{rcl} (α + β \cos (θ)) \cos (θ) & = & \cos (t θ) \cos (θ) \dots 連 立 方 程 式 上 側 の 式 の 両 辺 に \cos (θ) を 掛 け る ． \\ α \cos (θ) + β \cos^{2} (θ) & = & \cos (t θ) \cos (θ) \\ (α \cos (θ) + β \cos^{2} (θ)) - (α \cos (θ) + β) & = & (\cos (t θ) \cos (θ)) - (\cos ((1 - t) θ)) \dots 連 立 方 程 式 上 側 の 式 の 変 形 か ら 連 立 方 程 式 下 側 の 式 を 引 く ． \\ β \cos^{2} (θ) - β & = & \cos (t θ) \cos (θ) - (\cos (θ - t θ)) \\ β (\cos^{2} (θ) - 1) & = & \cos (t θ) \cos (θ) - (\cos (θ) \cos (t θ) + \sin (θ) \sin (t θ)) \dots \cos (α - β) = \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) \\ β (\cos^{2} (θ) - 1) & = & - \sin (θ) \sin (t θ) \\ β (1 - \cos^{2} (θ)) & = & \sin (θ) \sin (t θ) \\ β \sin^{2} (θ) & = & \sin (θ) \sin (t θ) \\ β & = & \frac{\sin (θ) \sin (t θ)}{\sin^{2} (θ)} \\ β & = & \frac{\sin (t θ)}{\sin (θ)} \\ α + (\frac{\sin (t θ)}{\sin (θ)}) \cos (θ) & = & \cos (t θ) \dots 連 立 方 程 式 上 側 の 式 に 求 め た β を 代 入 す る ． \\ α & = & \cos (t θ) - (\frac{\sin (t θ)}{\sin (θ)}) \cos (θ) \\ α & = & \frac{\sin (θ) \cos (t θ) - \cos (θ) \sin (t θ)}{\sin (θ)} \\ α & = & \frac{\sin (θ - t θ)}{\sin (θ)} \dots \sin (α) \cos (β) - \cos (α) \sin (β) = \sin (α - β) \\ = & \frac{\sin ((1 - t) θ)}{\sin (θ)} \\ α, β & = & \frac{\sin ((1 - t) θ)}{\sin (θ)}, \frac{\sin (t θ)}{\sin (θ)} \end{array}

解より点

P_{1}

から点

P_{2}

への移動の間の点

P

を変数

t

を用いて以下のように表現できることが示せた．

\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & α \vec{O P_{1}} + β \vec{O P_{2}} \\ = & \frac{\sin ((1 - t) θ)}{\sin (θ)} \vec{O P_{1}} + \frac{\sin (t θ)}{\sin (θ)} \vec{O P_{2}} \end{array}

三次元でも四元数を用いると同様の形の式となることを示した記事が“ 2点を補間した位置への回転操作のための四元数”です．

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