回帰による変動の平方和と全平方和の比率

回帰による変動の平方和と全平方和の比率

また全平方和$S_T$のうち回帰による変動の平方和$S_R$の比率を寄与率，あるいは決定係数$R^2$という． $$\begin{array}{rcl}{R}^2& =& \frac{S_R}{S_T}\\ & =& \frac{S_R}{S_{yy}}\dots S_T=S_{yy}\\ & =& \frac{\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}}{S_{yy}}\dots S_R=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}\\ & =& \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}{S}_{yy}}\\ & =& {\left(\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\right)}^2\\ & =& {\left(\frac{\frac{S_{xy}}{n-1}}{\sqrt{\frac{S_{xx}}{n-1}}\sqrt{\frac{S_{yy}}{n-1}}}\right)}^2\\ & =& \frac{Cov[X,Y{]}^2}{V[X]V[Y]}\dots Cov[X,Y]=E\left[\{X-E\left[X\right]\}\{Y-E\left[Y\right]\}\right],V\left[X\right]=E\left[{\{X-E\left[X\right]\}}^2\right]\\ & =& {\rho }^2\dots \frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}=\rho (\mathrm{相}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{数})\\ R^2=\frac{S_R}{S_T}& =& \frac{S_T-Se}{S_T}=1-\frac{S_e}{S_T}\dots S_R=S_T-Se\\ & =& \frac{S_T-Se}{S_{yy}}=1-\frac{S_e}{S_{yy}}\end{array}$$