回帰による変動の平方和と全平方和の比率

回帰による変動の平方和と全平方和の比率

また全平方和\(S_{T}\)のうち回帰による変動の平方和\(S_{R}\)の比率を寄与率，あるいは決定係数\(R^2\)という． $$\begin{eqnarray} R^2&=&\frac{S_{R}}{S_{T}}\\ &=&\frac{S_{R}}{S_{yy}}\;\dots\;S_{T}=S_{yy}\\ &=&\frac{\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}}{S_{yy}}\;\dots\;S_{R}=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}\\ &=&\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}\\ &=&\left(\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\right)^2\\ &=&\left(\frac{\frac{S_{xy}}{n-1}}{\sqrt{\frac{S_{xx}}{n-1}}\sqrt{\frac{S_{yy}}{n-1}}}\right)^2\\ &=&\frac{Cov[X, Y]^2}{V[X]V[Y]}\;\dots\; Cov\left[ X,Y \right] = E\left[ \left\{ X-E \left[ X \right] \right\} \left\{ Y-E \left[ Y \right] \right\} \right],\;V\left[ X\right] = E\left[ \left\{ X-E \left[ X \right] \right\}^2\right]\\ &=&\rho^2\;\dots\;\frac{Cov[X, Y]}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}}=\rho (相関係数)\\ R^2=\frac{S_{R}}{S_{T}}&=& \frac{S_{T}-S{e}}{S_{T}}=1-\frac{S_{e}}{S_{T}}\;\dots\;S_{R}=S_{T}-S{e}\\ &=& \frac{S_{T}-S{e}}{S_{yy}}=1-\frac{S_{e}}{S_{yy}}\\ \end{eqnarray}$$