標本平均¯Xの母平均μまわりの3次モーメント(=標本平均¯Xの3次の中心(化)モーメント)
E[(¯X−μ)3]=E[{(1nn∑k=1Xk)−μ}3]⋯¯X=1nn∑k=1Xk=E[{(1nn∑k=1Xk)−(1nn∑k=1μ)}3]⋯C=nnC=1nCn∑k=11=1nn∑k=1C(C:kによらない数，∑にとって定数)=E[[1n{(n∑k=1Xk)−(n∑k=1μ)}]3]=E[1n3{(n∑k=1Xk)−(n∑k=1μ)}3]⋯(AB)C=ACBC=E[1n3{n∑k=1(Xk−μ)}3]⋯n∑k=1Xk−n∑k=1Yk=n∑k=1(Xk−Yk)
総和の指数計算において掛け合わせる添え字の組合せについて考える．
(n∑k=1Ak)3=(n∑k=1Ak)(n∑l=1Al)(n∑m=1Am)=(A1+A2+⋯+Ak+⋯+An)(A1+A2+⋯+Al+⋯+An)(A1+A2+⋯+Am+⋯+An)=3P0×(n∑k=1A3k)⋯3つとも同じ添え字(どれか0個の添え字が異なるケース)+3P1×(∑k≠lA2kAl)⋯いずれか2つが同じ添え字(どれか1個の添え字が異なるのケース)+3P2×(∑k<l<mAkAlAm)⋯すべての添え字が異なるケース(どれか2個の添え字が異なるのケース)⋯各ケースでの(重複する数×組合せで総和)の和=3!(3−0)!(n∑k=1A3k)+3!(3−1)!(∑k≠lA2kAl)+3!(3−2)!(∑k<l<mAkAlAm)=3×2×13×2×1(n∑k=1A3k)+3×2×12×1(∑k≠lA2kAl)+3×2×11(∑k<l<mAkAlAm)=1⋅(n∑k=1A3k)+3⋅(∑k≠lA2kAl)+6⋅(∑k<l<mAkAlAm)
よって，
E[(¯X−μ)3]=E[1n3{n∑k=1(Xk−μ)}3]=E[1n3{n∑k=1(Xk−μ)3+3∑k≠l(Xk−μ)2(Xl−μ)+6∑k<l<m(Xk−μ)(Xl−μ)(Xm−μ)}]=1n3E[n∑k=1(Xk−μ)3+3∑k≠l(Xk−μ)2(Xl−μ)+6∑k<l<m(Xk−μ)(Xl−μ)(Xm−μ)]⋯E[cX]=cE[X]=1n3[E[n∑k=1(Xk−μ)3]+E[3∑k≠l(Xk−μ)2(Xl−μ)]+E[6∑k<l<m(Xk−μ)(Xl−μ)(Xm−μ)]]⋯E[X+Y]=E[X]+E[Y]=1n3[E[n∑k=1(Xk−μ)3]+3E[∑k≠l(Xk−μ)2(Xl−μ)]+6E[∑k<l<m(Xk−μ)(Xl−μ)(Xm−μ)]]⋯E[cX]=cE[X]=1n3[n∑k=1E[(Xk−μ)3]+3∑k≠lE[(Xk−μ)2(Xl−μ)]+6∑k<l<mE[(Xk−μ)(Xl−μ)(Xm−μ)]]⋯E[n∑k=1Ak]=E[A1+A2+⋯+An]=E[A1]+E[A2]+⋯+E[An]=n∑k=1E[Ak],E[X+Y]=E[X]+E[Y]=1n3[n∑k=1E[(Xk−μ)3]+3∑k≠lE[(Xk−μ)2]E[Xl−μ]+6∑k<l<mE[Xk−μ]E[Xl−μ]E[Xm−μ]]⋯X,Yが独立の場合E[XY]=E[X]E[Y]
ここで1次の中心(化)モーメントについて考える．
E[Xi−μ]=E[Xi]−E[μ]⋯E[X−Y]=E[X]−E[Y]=μ−μ⋯E[Xi]=E[X]=μ,E[C]=C(C定数)=0
これを用いて
E[(¯X−μ)3]=1n3[n∑k=1E[(Xk−μ)3]+3∑k≠lE[(Xk−μ)2]E[Xl−μ]+6∑k<l<mE[Xk−μ]E[Xl−μ]E[Xm−μ]]=1n3[n∑k=1E[(Xk−μ)3]+3∑k≠l(E[(Xk−μ)2]⋅0)+6∑k<l<m(0⋅0⋅0)]=1n3[n∑k=1E[(Xk−μ)3]+0+0]=1n3n∑k=1E[(Xk−μ)3]=1n3n∑k=1μ3⋯E[(X−μ)3]=μ3:3次の中心(化)モーメント=1n3nμ3=μ3n2=μ3(¯X)⋯μ3(¯X):標本平均¯Xの母平均μまわりの3次モーメント(3次の中心(化)モーメント)
標本平均¯Xの母平均μまわりの3次モーメント(標本平均¯Xの3次の中心(化)モーメント)を歪度β1で表す
E[(¯X−μ)3]=μ3(¯X)=μ3n2⋯μ3=μ3(X)=β1σ3:3次の中心(化)モーメント=β1σ3n2
標本平均¯Xの歪度β1(¯X)
β1(¯X)=β1√n
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