偶数の二重階乗(double factorial / semifactorial)の逆数(reciprocal)の和(無限級数(infinite series))

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{0!!}+\frac{1}{2!!}+\frac{1}{4!!}+\cdots & =& {\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k}k!}}\\ & & \dots n!!(\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{階}\mathrm{乗})\ne (n!)!(=\mathrm{階}\mathrm{乗}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{回}\mathrm{反}\mathrm{復}),\mathrm{偶}\mathrm{数}n\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{階}\mathrm{乗}n!!=\prod _{k=0}^{\frac{n}{2}}(2k),\mathrm{偶}\mathrm{数}2k(k\ge 0)\mathrm{の}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{階}\mathrm{乗}(2k)!!=2^{k}k!\\ & =& {\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^k}{k!}}\\ & =& {\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}\dots \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}={\mathrm{e}}^x}\\ & =& {\displaystyle \sqrt{\mathrm{e}}}\end{array}$$