間違いしかありません.コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください).

ポアソン分布(Poisson distribution)の積率母凾数(moment-generating function)と期待値(expected value)・分散(variance)

ポアソン分布

Po(λ)=λxx!eλ

積率母凾数

MX(t)E[etX]=x=0(etx)λxx!eλ=eλx=0(etx)λxx!=eλx=0etxλxx!=eλx=0(etλ)xx!=eλeetλx=0axx!=ea=eetλλ=eλ(et1)

期待値・分散

MX(m)(0)dmdmtMx(t)|t=0=E[XmetX]|t=0=E[Xm] E[X]=MX(1)(0)={ddt(eλ(et1))}|t=0={dds(es)dsdt}|t=0s=λ(et1),dsdt=λet={(eλ(et1))(λet)}|t=0ddxex=ex={λ(eλ(et1)+t)}|t=0=λ(eλ(e01)+0)=λe0a0=1=λa0=1 E[X2]=MX(2)(0)={d2dt2(eλ(et1))}|t=0={ddtλ(eλ(et1)+t)}|t=0E[X]={dds(λes)dsdt}|t=0s=λ(et1)+t,dsdt=λet+1={(λeλ(et1)+1)(λet+1)}|t=0ddxCex=Cex=(λeλ(e01)+1)(λe0+1)=λe0(λ+1)a0=1=λ(λ+1)a0=1 V[X]=E[X2]E[X]2=λ(λ+1)λ2=λ2+λλ2=λ

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