2を底とする指数凾数の微分

与式

$$\begin{eqnarray} y&=&2^x \end{eqnarray}$$

両辺とも自然対数をとってネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例1)

$$\begin{eqnarray} \ln{\left(y\right)}&=&\ln{\left(2^x\right)} \\e^{\ln{\left(y\right)}}&=&e^{\ln{\left(2^x\right)}} \\y&=&e^{x\ln{\left(2\right)}}\;\cdots\;\ln{\left(A^B\right)}=B\ln{\left(A\right)} \end{eqnarray}$$

逆凾数を底の変換及び分母をはらった後，ネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例2)

$$\begin{eqnarray} x&=&\log_2{\left(y\right)} \\&=&\frac{\ln{\left(y\right)}}{\ln{\left(2\right)}}\;\cdots\;\log_A{\left(B\right)}=\frac{\log_C{\left(B\right)}}{\log_C{\left(A\right)}} \\\ln{\left(y\right)}&=&x\ln{\left(2\right)} \\e^{\ln{\left(y\right)}}&=&e^{x\ln{\left(2\right)}} \\y&=&e^{x\ln{\left(2\right)}} \end{eqnarray}$$

合成凾数の微分

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 2^x \\&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x\ln{\left(2\right)}} \\&=&\frac{\mathrm{d}e^u}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\;\cdots\;u=x\ln{\left(2\right)} \\&=&e^u\cdot\ln{\left(2\right)}\;\cdots\;\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x}=e^x,\;\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x\ln{\left(2\right)}=\ln{\left(2\right)} \\&=&e^{x\ln{\left(2\right)}}\ln{\left(2\right)} \\&=&e^{\ln{\left(2^x\right)}}\ln{\left(2\right)} \\&=&2^x\ln{\left(2\right)} \end{eqnarray}$$

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2でなく変数aとした場合

$$\begin{eqnarray} y&=&a^x \end{eqnarray}$$

両辺とも自然対数をとってネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例1)

$$\begin{eqnarray} \ln{\left(y\right)}&=&\ln{\left(a^x\right)} \\e^{\ln{\left(y\right)}}&=&e^{\ln{\left(a^x\right)}} \\y&=&e^{x\ln{\left(a\right)}}\;\cdots\;\ln{\left(A^B\right)}=B\ln{\left(A\right)} \end{eqnarray}$$

逆凾数を底の変換及び分母をはらった後，ネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例2)

$$\begin{eqnarray} x&=&\log_a{\left(y\right)} \\&=&\frac{\ln{\left(y\right)}}{\ln{\left(a\right)}}\;\cdots\;\log_A{\left(B\right)}=\frac{\log_C{\left(B\right)}}{\log_C{\left(A\right)}} \\\ln{\left(y\right)}&=&x\ln{\left(a\right)} \\e^{\ln{\left(y\right)}}&=&e^{x\ln{\left(a\right)}} \\y&=&e^{x\ln{\left(a\right)}} \end{eqnarray}$$

合成凾数の微分

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} a^x \\&=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x\ln{\left(a\right)}} \\&=&\frac{\mathrm{d}e^u}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\;\cdots\;u=x\ln{\left(a\right)} \\&=&e^u\cdot\ln{\left(a\right)}\;\cdots\;\frac{\mathrm{d}e^x}{\mathrm{d}x}=e^x,\;\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x\ln{\left(a\right)}=\ln{\left(a\right)} \\&=&e^{x\ln{\left(a\right)}}\ln{\left(a\right)} \\&=&e^{\ln{\left(a^x\right)}}\ln{\left(a\right)} \\&=&a^x\ln{\left(a\right)} \end{eqnarray}$$