式展開: 10月 2023

n乗の3つの数の和を基本対称式で表す

α, β, γ

を解とする3次方程式を考える．

\begin{array}{rcl} (x - α) (x - β) (x - γ) & = & 0 \\ x^{3} - (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + α γ) x - α β γ & = & 0 \end{array}

α, β, γ

は式の解なので，

x

に代入しても式は成り立つ．代入した2つの式を得る．

\begin{array}{r} {\begin{cases} α^{3} - (α + β + γ) α^{2} + (α β + β γ + α γ) α - α β γ & = & 0 \\ β^{3} - (α + β + γ) β^{2} + (α β + β γ + α γ) β - α β γ & = & 0 \\ γ^{3} - (α + β + γ) γ^{2} + (α β + β γ + α γ) γ - α β γ & = & 0 \end{cases} \end{array}

第一式には

α^{n - 3}

，第二式には

β^{n - 3}

，第三式には

γ^{n - 3}

を両辺に掛ける．

\begin{array}{r} {\begin{cases} α^{n - 3} {α^{3} - (α + β + γ) α^{2} + (α β + β γ + α γ) α - α β γ} & = & α^{n - 3} \cdot 0 \\ β^{n - 3} {β^{3} - (α + β + γ) β^{2} + (α β + β γ + α γ) β - α β γ} & = & β^{n - 3} \cdot 0 \\ γ^{n - 3} {γ^{3} - (α + β + γ) γ^{2} + (α β + β γ + α γ) γ - α β γ} & = & γ^{n - 3} \cdot 0 \end{cases} \\ {\begin{cases} α^{n} & - (α + β + γ) α^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) α^{n - 2} & - α β γ α^{n - 3} & = & 0 \\ β^{n} & - (α + β + γ) β^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) β^{n - 2} & - α β γ β^{n - 3} & = & 0 \\ γ^{n} & - (α + β + γ) γ^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) γ^{n - 2} & - α β γ γ^{n - 3} & = & 0 \end{cases} \end{array}

3式を足し合わせ，n乗の和について解くことで．n乗の和を基本対称式で求める式を得る．

\begin{array}{rclrclr} α^{n} & - (α + β + γ) α^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) α^{n - 2} & - α β γ α^{n - 3} & = & 0 \\ β^{n} & - (α + β + γ) β^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) β^{n - 2} & - α β γ β^{n - 3} & = & 0 \\ +) & γ^{n} & - (α + β + γ) γ^{n - 1} & + (α β + β γ + α γ) γ^{n - 2} & - α β γ γ^{n - 3} & = & 0 \\ α^{n} + β^{n} + γ^{n} & - (α + β + γ) (α^{n - 1} + β^{n - 1} + γ^{n - 1}) & + (α β + β γ + α γ) (α^{n - 2} + β^{n - 2} + γ^{n - 2}) & - α β γ (α^{n - 3} + β^{n - 3} + γ^{n - 3}) & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} α^{n} + β^{n} + γ^{n} & = & (α + β + γ) (α^{n - 1} + β^{n - 1} + γ^{n - 1}) - (α β + β γ + α γ) (α^{n - 2} + β^{n - 2} + γ^{n - 2}) + α β γ (α^{n - 3} + β^{n - 3} + γ^{n - 3}) \end{array}

α, β, γ

は任意の数でよいのでそれを

x, y, z

とすれば以下の式を得る．

\begin{array}{rcl} x^{n} + y^{n} + z^{n} & = & (x + y + z) (x^{n - 1} + y^{n - 1} + z^{n - 1}) - (x y + y z + x z) (x^{n - 2} + y^{n - 2} + z^{n - 2}) + x y z (x^{n - 3} + y^{n - 3} + z^{n - 3}) \end{array}

n乗された2つの数の和を基本対称式で表す

α, β

を解とする2次方程式を考える．

\begin{array}{rcl} (x - α) (x - β) & = & 0 \\ x^{2} - (α + β) x + α β & = & 0 \end{array}

α, β

は式の解なので，

x

に代入しても式は成り立つ．代入した2つの式を得る．

\begin{array}{r} {\begin{cases} α^{2} - (α + β) α + α β & = & 0 \\ β^{2} - (α + β) β + α β & = & 0 \end{cases} \end{array}

第一式には

α^{n - 2}

，第二式には

β^{n - 2}

を両辺に掛ける．

\begin{array}{r} {\begin{cases} α^{n - 2} \cdot {α^{2} - (α + β) α + α β} & = & α^{n - 2} \cdot 0 \\ β^{n - 2} \cdot {β^{2} - (α + β) β + α β} & = & β^{n - 2} \cdot 0 \end{cases} \\ {\begin{cases} α^{n} - (α + β) α^{n - 1} + α β α^{n - 2} & = & 0 \\ β^{n} - (α + β) β^{n - 1} + α β β^{n - 2} & = & 0 \end{cases} \end{array}

両式を足し合わせ，n乗の和について解くことで．n乗の和を基本対称式で求める式を得る．

\begin{array}{rclrcl} α^{n} & - (α + β) α^{n - 1} & + α β α^{n - 2} & = & 0 \\ +) & β^{n} & - (α + β) β^{n - 1} & + α β β^{n - 2} & = & 0 \\ α^{n} + β^{n} & - (α + β) (α^{n - 1} + β^{n - 1}) & + α β (α^{n - 2} + β^{n - 2}) & = & 0 \end{array}

\begin{array}{rcl} α^{n} + β^{n} & = & (α + β) (α^{n - 1} + β^{n - 1}) - α β (α^{n - 2} + β^{n - 2}) \end{array}

α, β

は任意の数でよいのでそれを

x, y

とすれば以下の式を得る．

\begin{array}{rcl} x^{n} + y^{n} & = & (x + y) (x^{n - 1} + y^{n - 1}) - x y (x^{n - 2} + y^{n - 2}) \end{array}

問

original:https://www.youtube.com/watch?v=KPT862KhxRM

\begin{array}{r} {(\frac{1 + \sqrt{13}}{2})}^{7} + {(\frac{1 - \sqrt{13}}{2})}^{7} の 値 を 求 め よ ． \end{array}

第一項,第二項の括弧内をそれぞれ

α, β

とする．

\begin{array}{r} α^{7} + β^{7} \dots α = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, β = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \end{array}

n乗の和を基本対称式で求める上記式を用い，2乗から7乗まで順次求めていく．

\begin{array}{rcl} α^{2} + β^{2} & = & (α + β) (α^{2 - 1} + β^{2 - 1}) - α β (α^{2 - 2} + β^{2 - 2}) \\ = & (α + β) (α + β) - α β (α^{0} + β^{0}) \\ = & 1 \cdot 1 - (- 3) 2 = 1 + 6 = 7 \dots α + β = 1, α β = - 3, α^{0} + β^{0} = 1 + 1 = 2 \\ α^{3} + β^{3} & = & (α + β) (α^{3 - 1} + β^{3 - 1}) - α β (α^{3 - 2} + β^{3 - 2}) \\ = & (α + β) (α^{2} + β^{2}) - α β (α + β) \\ = & 1 \cdot 7 - (- 3) 1 = 7 + 3 = 10 \\ α^{4} + β^{4} & = & (α + β) (α^{4 - 1} + β^{4 - 1}) - α β (α^{4 - 2} + β^{4 - 2}) \\ = & (α + β) (α^{3} + β^{3}) - α β (α^{2} + β^{2}) \\ = & 1 \cdot 10 - (- 3) 7 = 10 + 21 = 31 \\ α^{5} + β^{5} & = & (α + β) (α^{5 - 1} + β^{5 - 1}) - α β (α^{5 - 2} + β^{5 - 2}) \\ = & (α + β) (α^{4} + β^{4}) - α β (α^{3} + β^{3}) \\ = & 1 \cdot 31 - (- 3) 10 = 31 + 30 = 61 \\ α^{6} + β^{6} & = & (α + β) (α^{6 - 1} + β^{6 - 1}) - α β (α^{6 - 2} + β^{6 - 2}) \\ = & (α + β) (α^{5} + β^{5}) - α β (α^{4} + β^{4}) \\ = & 1 \cdot 61 - (- 3) 31 = 61 + 93 = 154 \\ α^{7} + β^{7} & = & (α + β) (α^{7 - 1} + β^{7 - 1}) - α β (α^{7 - 2} + β^{7 - 2}) \\ = & (α + β) (α^{6} + β^{6}) - α β (α^{5} + β^{5}) \\ = & 1 \cdot 154 - (- 3) 61 = 154 + 183 = 337 \end{array}

2を底とする指数凾数の微分

与式

\begin{array}{rcl} y & = & 2^{x} \end{array}

両辺とも自然対数をとってネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例1)

\begin{array}{rcl} \ln (y) & = & \ln (2^{x}) \\ e^{\ln (y)} & = & e^{\ln (2^{x})} \\ y & = & e^{x \ln (2)} \dots \ln (A^{B}) = B \ln (A) \end{array}

逆凾数を底の変換及び分母をはらった後，ネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例2)

\begin{array}{rcl} x & = & \log_{2} (y) \\ = & \frac{\ln (y)}{\ln (2)} \dots \log_{A} (B) = \frac{\log_{C} (B)}{\log_{C} (A)} \\ \ln (y) & = & x \ln (2) \\ e^{\ln (y)} & = & e^{x \ln (2)} \\ y & = & e^{x \ln (2)} \end{array}

合成凾数の微分

\begin{array}{rcl} \frac{d y}{d x} & = & \frac{d}{d x} 2^{x} \\ = & \frac{d}{d x} e^{x \ln (2)} \\ = & \frac{d e^{u}}{d u} \frac{d u}{d x} \dots u = x \ln (2) \\ = & e^{u} \cdot \ln (2) \dots \frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}, \frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} x \ln (2) = \ln (2) \\ = & e^{x \ln (2)} \ln (2) \\ = & e^{\ln (2^{x})} \ln (2) \\ = & 2^{x} \ln (2) \end{array}

2でなく変数aとした場合

\begin{array}{rcl} y & = & a^{x} \end{array}

両辺とも自然対数をとってネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例1)

\begin{array}{rcl} \ln (y) & = & \ln (a^{x}) \\ e^{\ln (y)} & = & e^{\ln (a^{x})} \\ y & = & e^{x \ln (a)} \dots \ln (A^{B}) = B \ln (A) \end{array}

逆凾数を底の変換及び分母をはらった後，ネイピア数を底とする指数凾数にする(変形例2)

\begin{array}{rcl} x & = & \log_{a} (y) \\ = & \frac{\ln (y)}{\ln (a)} \dots \log_{A} (B) = \frac{\log_{C} (B)}{\log_{C} (A)} \\ \ln (y) & = & x \ln (a) \\ e^{\ln (y)} & = & e^{x \ln (a)} \\ y & = & e^{x \ln (a)} \end{array}

合成凾数の微分

\begin{array}{rcl} \frac{d y}{d x} & = & \frac{d}{d x} a^{x} \\ = & \frac{d}{d x} e^{x \ln (a)} \\ = & \frac{d e^{u}}{d u} \frac{d u}{d x} \dots u = x \ln (a) \\ = & e^{u} \cdot \ln (a) \dots \frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}, \frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} x \ln (a) = \ln (a) \\ = & e^{x \ln (a)} \ln (a) \\ = & e^{\ln (a^{x})} \ln (a) \\ = & a^{x} \ln (a) \end{array}

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