コーシーの積分公式

コーシーの積分公式

\(K\)を単連結な(穴のない)領域とし，\(f(z)\)は\(K\)上で正則である(微分可能な)複素凾数とする． \(C\)を\(K\)内のある単純(自己交点を持たない)閉曲線であるとし，\(D\)を\(C\)の内部の領域とする． \(z\)を\(D\)内の任意の一点とすると，この時以下が成り立つ． $$\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta&=&f(z)&\;\ldots\;z\in D \end{eqnarray}$$ \(f(z)\)の係数となる\(\frac{1}{\zeta-z}\)が\(\zeta=z\)で微分不可(特異点)となる．

\(z\)を\(D\)の外の場合

$$\begin{eqnarray} \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/08/blog-post.html}{\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=0\;\ldots\;z\notin D} \end{eqnarray}$$ 積分対象全域で正則のままなので，\(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\)を改めて\(f(z)\)と考えてコーシーの積分定理が成り立つ．

特異点を囲む微小半径の円(単純閉曲線)を考える

積分経路を\(C\)は\(z\)を含むかどうかが問題なので，\(z\)を中心とした半径\(\varepsilon\)の経路\(C^\prime\)に置き換えて考える． $$\begin{eqnarray} \oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta &=&\oint_{C\prime}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\;\ldots\;C\prime:|\zeta-z|=\varepsilon \\\zeta&=&z+\varepsilon e^{i\theta}　(0\le\theta<2\pi) \\\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}\theta}&=&\varepsilon \cdot ie^{i\theta} \\\mathrm{d}\zeta&=&i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\\oint_{C\prime}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta &=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)}{z+\varepsilon e^{i\theta}-z}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\ \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)}{\varepsilon e^{i\theta}}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\ \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}i\int_0^{2\pi}f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)d\theta \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}i\int_0^{2\pi}f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)d\theta \\&=&i\int_0^{2\pi}f\left(z\right)d\theta \\&=&if\left(z\right)\int_0^{2\pi}d\theta \\&=&if\left(z\right)2\pi \\&=&2\pi if\left(z\right) \\\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta&=&2\pi if\left(z\right) \\f\left(z\right)&=&\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \end{eqnarray}$$