eを底とした指数凾数(at乗)とsin凾数との積に対するラプラス変換

ラプラス変換

$$\begin{eqnarray} \mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right] &=&\int_0^\infty {f\left( t \right){e^{–st}}}\mathrm{d}t \end{eqnarray}$$

\(e^{at}\sin{\left(b t\right)}\)のラプラス変換

$$\begin{eqnarray} f\left( t \right) &=& e^{at}\sin{\left(b t\right)} \\\mathfrak{L}\left[ {f\left( t \right)} \right] &=&\int_0^\infty {f\left( t \right){e^{–st}}}\mathrm{d}t \\&=&\int_0^\infty {e^{at}\sin{\left(b t\right)}\;{e^{–st}}}\mathrm{d}t \\&=&\int_0^\infty { e^{-st+at}\sin{\left(b t\right)} }\mathrm{d}t\;\ldots\;e^Ae^B=e^{A+B} \\&=&\int_0^\infty { e^{-\left(s-a\right)t}\sin{\left(b t\right)} }\mathrm{d}t \\&=&\int_0^\infty { e^{-ut}\sin{\left(b t\right)} }\mathrm{d}t\;\ldots\;u=s-a \\&=&\mathfrak{L}\left[ {\sin{\left(b t\right)}} \right]\;\ldots\;uをsとみなして利用する \\&=&\frac{b}{u^2+b^2}\;\ldots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/04/sin.html}{\mathfrak{L}\left[ {\sin{\left(\omega t\right)}} \right]＝\frac{\omega}{s^2+\omega^2}} \\&=&\frac{b}{\left(s-a\right)^2+b^2} \end{eqnarray}$$