確率母凾数
非負の整数値をとる離散型確率変数\(X\)に対して以下のように確率母凾数(probability generating function;積率母凾数ではない)が定義される．
$$
\begin{eqnarray}
G_X(t)
&=&\mathrm{E}\left[t^X\right]
\;\cdots\;積率母凾数はM_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]
\\&=&\sum_{k} t^k P(X=k)
\\&&\;\cdots\;P(X):確率質量凾数, \sum_{k}:Xの定義範囲すべてのkでの和
\end{eqnarray}
$$
一階微分((原点周りの)一次モーメント) = 期待値
$$
\begin{eqnarray}
\left. G_X^{(1)}(t) \right|_{t=1}
&=&\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G_X(t) \right|_{t=1}
\\&=&\left. \sum_{k\geq1} kt^{k-1} P(X=k) \right|_{t=1}
\\&=&\sum_{k\geq1} k1^{k-1} P(X=k)
\\&=&\sum_{k\geq1} k P(X=k)
\\&=&\mathrm{E}\left[X\right]
\end{eqnarray}
$$
二階微分((原点周りの)二次モーメント)
$$
\begin{eqnarray}
\left. G_X^{(2)}(t) \right|_{t=1}
&=&\left. \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}G_X(t) \right|_{t=1}
\\&=&\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{k\geq1} kt^{k-1} P(X=k) \right|_{t=1}
\\&=&\left. \sum_{k\geq2} k(k-1)t^{k-2} P(X=k) \right|_{t=1}
\\&=&\sum_{k\geq2} k(k-1)1^{k-2} P(X=k)
\\&=&\sum_{k\geq2} k(k-1) P(X=k)
\\&=&\mathrm{E}\left[X(X-1)\right]
\end{eqnarray}
$$
分散((母平均周りの)二次モーメント)
$$
\begin{eqnarray}
\mathrm{V}\left[X\right]
&=&\mathrm{E}\left[\left(X-\mathrm{E}\left[X\right]\right)^2\right]
\\&=&\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}\left[X\right]^2
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/discrete-random-variable-variance.html}{\mathrm{E}\left[\left(X-\mathrm{E}\left[X\right]\right)^2\right]=\mathrm{E}\left[X^2\right]-\left[X\right]^2}
\\&=&\mathrm{E}\left[X^2\right]\color{red}{-\mathrm{E}\left[X\right]+\mathrm{E}\left[X\right]}\color{black}{-\mathrm{E}\left[X\right]^2}
\\&=&\mathrm{E}\left[X^2-X\right]+\mathrm{E}\left[X\right]-\mathrm{E}\left[X\right]^2
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/discrete-random-variable-expected-value.html}{\mathrm{E}\left[X\pm Y\right]=\mathrm{E}\left[X\right]\pm\mathrm{E}\left[Y\right]}
\\&=&\mathrm{E}\left[X(X-1)\right]+\mathrm{E}\left[X\right]-\mathrm{E}\left[X\right]^2
\\&=&\left( \left. G_X^{(2)}(t) \right|_{t=1} \right) + \left( \left. G_X^{(1)}(t) \right|_{t=1} \right) - \left( \left. G_X^{(1)}(t) \right|_{t=1} \right)^2
\end{eqnarray}
$$
Z=X+Y
$$
\begin{eqnarray}
G_Z(t)&=&\mathrm{E}\left[t^Z\right]
\\&=&\mathrm{E}\left[t^{X+Y}\right]
\\&=&\mathrm{E}\left[t^Xt^Y\right]
\;\cdots\;A^{B+C}=A^BA^C
\\&=&\mathrm{E}\left[t^X\right]\mathrm{E}\left[t^Y\right]
\;\cdots\;\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2019/06/discrete-random-variable-expected-value.html}{\mathrm{E}\left[AB\right]=\mathrm{E}\left[A\right]\mathrm{E}\left[B\right]\;AとBが独立の場合}
\\&=&G_X(t)G_Y(t)
\end{eqnarray}
$$
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