デルタ凾数(delta function)

デルタ凾数(delta function)

以下の式を満たす$\delta (x)$をデルタ凾数と呼ぶ． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)f(x)\mathrm{d}x& =& f(0)\end{array}$$ これは$f(x)$の積分の中から$x=0(\delta (0))$となる時のf(x)のみを取り出すことになる.

上記式を満たすため，$\delta (x)$のみでの積分値は1でとされる． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)\mathrm{d}x& =& 1\cdots \mathrm{前}\mathrm{述}\mathrm{の}\mathrm{式}\mathrm{に}\mathrm{お}\mathrm{い}\mathrm{て}f(x)=1\mathrm{の}\mathrm{場}\mathrm{合}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\end{array}$$

デルタ凾数の性質

$\delta (x-\alpha )$の場合

足し合わせたいxの値を動かす．これは$f(x)$の積分の中から$x=\alpha (\delta (\alpha -\alpha )=\delta (0))$となる時の$f(\alpha )$のみを取り出すことになる. $$\begin{array}{r}\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-\alpha )f(x)\mathrm{d}x& =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)f(t+\alpha )\mathrm{d}t\\ & & \cdots t=x-\alpha ,x=t+\alpha ,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\\ & & \cdots x:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty },t:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\\ & =& f(\alpha )\end{array}$$

$\delta (\alpha x)$の場合

$f(x)$と$\delta (x)$でスケールが$\alpha$倍異なる場合の性質を求める． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\alpha x)f(x)\mathrm{d}x& =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)f\left(\frac{t}{\alpha }\right)\frac{\mathrm{d}t}{\alpha }\\ & & \cdots t=\alpha x,x=\frac{t}{\alpha }\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\alpha },\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{\alpha }\\ & & \cdots x:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty },t:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\\ & =& \{\begin{array}{ll}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)f\left(\frac{t}{\alpha }\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha |}& (\alpha >0)\cdots a=|a|(a>0)\\ {\int }_{\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}\delta (t)f\left(\frac{t}{\alpha }\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha |}& (\alpha <0)\cdots a=-|a|(a<0)\end{array}\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)f\left(\frac{t}{\alpha }\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha |}\\ & & \cdots t=0\mathrm{以}\mathrm{外}\mathrm{は}\delta (t)=0\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{範}\mathrm{囲}\mathrm{が}\mathrm{逆}\mathrm{転}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{も}\delta (t)=0\mathrm{で}\mathrm{の}\\ & & \cdots f(t)\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{以}\mathrm{外}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{な}\mathrm{く},\alpha \mathrm{の}\mathrm{絶}\mathrm{対}\mathrm{値}\mathrm{を}\mathrm{と}\mathrm{れ}\mathrm{ば}\alpha \mathrm{の}\mathrm{正}\mathrm{負}\mathrm{に}\mathrm{よ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{式}\mathrm{に}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{る}．\\ & =& \frac{1}{|\alpha |}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t)f\left(\frac{t}{\alpha }\right)\mathrm{d}t\\ & =& \frac{1}{|\alpha |}f\left(0\right)\cdots \int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{|\alpha |}\delta (t)f\left(x\right)\mathrm{d}t\cdots \mathrm{最}\mathrm{初}\mathrm{の}\mathrm{式}\mathrm{と}\mathrm{比}\mathrm{較}\mathrm{し}\mathrm{や}\mathrm{す}\mathrm{い}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{並}\mathrm{べ}\mathrm{直}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{み}\mathrm{る}．\\ \delta (\alpha x)& =& \frac{1}{|\alpha |}\delta (t)\end{array}$$

$\delta (u(x))$の場合

足し合わせたいxの値を動かす．$u(x)=0$を満たす$x$を$x={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k,\cdots ,{\alpha }_n$とするとこれは$f(x)$の積分の中から$x={\alpha }_k(\delta ({\alpha }_k-{\alpha }_k)=\delta (0))$となる時の$f({\alpha }_k)$のみを取り出すことになり，積分はその足し合わせとなる.

$u(x)=0$の解$x={\alpha }_k$が区間にただ一つとなるように$ϵ$を十分小さくとるとする． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\delta (u(x))f(x)\mathrm{d}x& =& {\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\delta (u({\alpha }_k)+u^{\prime }({\alpha }_k)(x-{\alpha }_k)+\frac{1}{2!}{u}^{\prime \prime }({\alpha }_k){(x-{\alpha }_k)}^2+\cdots )f(x)\mathrm{d}x\\ & & \cdots u(x)\mathrm{の}x=\alpha \mathrm{周}\mathrm{り}\mathrm{で}\mathrm{の}\mathrm{テ}\mathrm{イ}\mathrm{ラ}\mathrm{ー}\mathrm{展}\mathrm{開}\mathrm{を}\mathrm{行}\mathrm{っ}\mathrm{た}．\\ & & \cdots a\mathrm{周}\mathrm{り}\mathrm{で}\mathrm{の}f(x)\mathrm{の}\mathrm{テ}\mathrm{イ}\mathrm{ラ}\mathrm{ー}\mathrm{展}\mathrm{開}:f(x)=f^{}(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a){(x-a)}^2+\cdots \\ & =& {\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\delta (0+u^{\prime }({\alpha }_k)(x-{\alpha }_k)+0)f(x)\mathrm{d}x\\ & & \cdots u({\alpha }_k)\mathrm{は}{\alpha }_k\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{義}\mathrm{よ}\mathrm{り}0\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{る}．\\ & & \cdots (x-{\alpha }_k)=\pm ϵ\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{り}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{は}{ϵ}^2\mathrm{以}\mathrm{下}\mathrm{の}\mathrm{数}\mathrm{を}\mathrm{掛}\mathrm{け}\mathrm{る}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{に}\mathrm{な}\mathrm{る}．\\ & & \cdots \mathrm{こ}\mathrm{れ}\mathrm{は}\mathrm{無}\mathrm{視}\mathrm{で}\mathrm{き}\mathrm{る}\mathrm{ほ}\mathrm{ど}\mathrm{小}\mathrm{さ}\mathrm{く},0\mathrm{と}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{扱}\mathrm{え}\mathrm{る}.\\ & =& {\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\delta (u^{\prime }({\alpha }_k)(x-{\alpha }_k))f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\frac{1}{|u^{\prime }({\alpha }_k)|}\delta (x-{\alpha }_k)f(x)\mathrm{d}x\cdots \delta (\alpha x)=\frac{1}{|\alpha |}\delta (t)(\mathrm{前}\mathrm{述})\end{array}$$ よって全区間では以下のようになる． $$\begin{array}{rcl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (u(x))f(x)\mathrm{d}x& =& \sum _{k=1}^n{\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\delta (u(x))f(x)\mathrm{d}x\\ & =& \sum _{k=1}^n{\int }_{{\alpha }_k-ϵ}^{{\alpha }_k+ϵ}\frac{1}{|u^{\prime }({\alpha }_k)|}\delta (x-{\alpha }_k)f(x)\mathrm{d}x\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left\{\sum _{k=1}^n\frac{1}{|u^{\prime }({\alpha }_k)|}\delta (x-{\alpha }_k)\right\}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\\ \delta (u(x))& =& \sum _{k=1}^n\frac{1}{|u^{\prime }({\alpha }_k)|}\delta (x-{\alpha }_k)(\mathrm{た}\mathrm{だ}\mathrm{し}{\alpha }_k\mathrm{は}u(x)=0\mathrm{の}\mathrm{解})\\ & =& \sum _{\alpha \in u^{-1}(0)}\frac{1}{|u^{\prime }(\alpha )|}\delta (x-\alpha )\end{array}$$