デルタ凾数(delta function)

デルタ凾数(delta function)

以下の式を満たす\(\delta(x)\)をデルタ凾数と呼ぶ． $$ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f(x)\mathrm{d}x&=&f(0) \end{eqnarray} $$ これは\(f(x)\)の積分の中から\(x=0\;(\delta(0))\)となる時のf(x)のみを取り出すことになる.

上記式を満たすため，\(\delta(x)\)のみでの積分値は1でとされる． $$ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{d}x&=&1\;\cdots\;前述の式においてf(x)=1の場合と同じ \end{eqnarray} $$

デルタ凾数の性質

\(\delta(x-\alpha)\)の場合

足し合わせたいxの値を動かす．これは\(f(x)\)の積分の中から\(x=\alpha\;(\delta(\alpha-\alpha)=\delta(0))\)となる時の\(f(\alpha)\)のみを取り出すことになる. $$ \begin{eqnarray} \\\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-\alpha)f(x)\mathrm{d}x &=&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f(t+\alpha)\mathrm{d}t \\&&\;\cdots\;t=x-\alpha,x=t+\alpha,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\&&\;\cdots\;x:-\infty\rightarrow \infty, t:-\infty\rightarrow \infty \\&=&f(\alpha) \end{eqnarray} $$

\(\delta(\alpha x)\)の場合

\(f(x)\)と\(\delta(x)\)でスケールが\(\alpha\)倍異なる場合の性質を求める． $$ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\color{red}{\delta(\alpha x)}\color{black}{f(x)\mathrm{d}x} &=&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f\left(\frac{t}{\alpha}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\alpha} \\&&\;\cdots\;t=\alpha x,x=\frac{t}{\alpha}\;\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\alpha},\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{\alpha} \\&&\;\cdots\;x:-\infty\rightarrow \infty, t:-\infty\rightarrow \infty \\&=&\begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f\left(\frac{t}{\alpha}\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha|}&(\alpha \gt 0)\;\cdots\;a=|a|\;(a\gt0) \\ \int_{\infty}^{-\infty}\delta(t)f\left(\frac{t}{\alpha}\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha|}&(\alpha \lt 0)\;\cdots\;a=-|a|\;(a\lt0) \end{cases} \\&=&\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f\left(\frac{t}{\alpha}\right)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha|} \\&&\;\cdots\;t=0以外は\delta(t)=0なので積分範囲が逆転しても\delta(t)=0での \\&&\;\cdots\;f(t)の値以外関係なく,\alphaの絶対値をとれば\alphaの正負によらない式にできる． \\&=&\frac{1}{|\alpha|}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f\left(\frac{t}{\alpha}\right)\mathrm{d}t \\&=&\frac{1}{|\alpha|}f\left(0\right) \;\cdots\;\int cf(x)\mathrm{d}x=c\int f(x)\mathrm{d}x \\&=&\int_{-\infty}^{\infty} \color{red}{\frac{1}{|\alpha|}\delta(t)}\color{black}{f\left(x\right)\mathrm{d}t} \;\cdots\;最初の式と比較しやすいように並べ直してみる． \\\delta(\alpha x)&=&\frac{1}{|\alpha|}\delta(t) \end{eqnarray} $$

\(\delta(u(x))\)の場合

足し合わせたいxの値を動かす．\(u(x)=0\)を満たす\(x\)を\(x=\alpha_1,\cdots,\alpha_k,\cdots,\alpha_n\)とするとこれは\(f(x)\)の積分の中から\(x=\alpha_k\;(\delta(\alpha_k-\alpha_k)=\delta(0))\)となる時の\(f(\alpha_k)\)のみを取り出すことになり，積分はその足し合わせとなる.

\(u(x)=0\)の解\(x=\alpha_k\)が区間にただ一つとなるように\(\epsilon\)を十分小さくとるとする． $$ \begin{eqnarray} \int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\color{red}{\delta\left(u(x)\right)}\color{black}{f(x)\mathrm{d}x} &=&\int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\delta\left(u(\alpha_k)+u^{\prime}(\alpha_k)\left(x-\alpha_k\right)+\frac{1}{2!}u^{\prime\prime}(\alpha_k)\left(x-\alpha_k\right)^2+\cdots\right)f(x)\mathrm{d}x \\&&\;\cdots\;u(x)のx=\alpha周りでのテイラー展開を行った． \\&&\;\cdots\;a周りでのf(x)のテイラー展開: f(x)=f^{}(a)+f^{\prime}(a)\left(x-a\right)+\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)\left(x-a\right)^2+\cdots \\&=&\int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\delta\left(0+u^{\prime}(\alpha_k)\left(x-\alpha_k\right)+0\right)f(x)\mathrm{d}x \\&&\;\cdots\;u(\alpha_k)は\alpha_kの定義より0である． \\&&\;\cdots\;(x-\alpha_k)=\pm\epsilonであり二次以上の項は\epsilon^2以下の数を掛けることになる． \\&&\;\cdots\;これは無視できるほど小さく,0として扱える. \\&=&\int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\delta\left(u^{\prime}(\alpha_k)\left(x-\alpha_k\right)\right)f(x)\mathrm{d}x \\&=&\int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\color{red}{\frac{1}{\left|u^{\prime}(\alpha_k)\right|}\delta\left(x-\alpha_k\right)}\color{black}{f(x)\mathrm{d}x} \;\cdots\;\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|}\delta(t)(前述) \end{eqnarray} $$ よって全区間では以下のようになる． $$ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\color{red}{\delta\left(u(x)\right)}\color{black}{f(x)\mathrm{d}x} &=&\sum_{k=1}^{n} \int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\delta\left(u(x)\right)f(x)\mathrm{d}x \\&=&\sum_{k=1}^{n} \int_{\alpha_k-\epsilon}^{\alpha_k+\epsilon}\frac{1}{\left|u^{\prime}(\alpha_k)\right|}\delta\left(x-\alpha_k\right)f(x)\mathrm{d}x \\&=&\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\color{red}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\left|u^{\prime}(\alpha_k)\right|}\delta\left(x-\alpha_k\right)}\right\}\color{black}{f(x)\mathrm{d}x} \end{eqnarray} $$ $$ \begin{eqnarray} \\\delta(u(x))&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\left|u^{\prime}(\alpha_k)\right|}\delta\left(x-\alpha_k\right)(ただし\alpha_kはu(x)=0の解) \\&=&\sum_{\alpha\in u^{-1}(0)}\frac{1}{\left|u^{\prime}(\alpha)\right|}\delta\left(x-\alpha\right) \end{eqnarray} $$