式展開: XY平面上の線分同士の交点

線分同士の交点

$X Y 平面上の線分 \overset{―}{A B}, \overset{―}{C D}$ の $交点 G$

\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \vec{A B} = (u_{x}, u_{y}) = (x_{b} - x_{a}, y_{b} - y_{a}) \dots 始 点 A (x_{a}, y_{a}), 終 点 B (x_{b}, y_{b}) \\ \vec{v} & = & \vec{C D} = (v_{x}, v_{y}) = (x_{d} - x_{c}, y_{d} - y_{c}) \dots 始 点 C (x_{c}, y_{c}), 終 点 D (x_{d}, y_{d}) \\ \vec{w} & = & \vec{A C} = (w_{x}, w_{y}) = (x_{c} - x_{a}, y_{c} - y_{a}) \dots 始 点 A, 終 点 B \\ \vec{u} \times \vec{v} & = & u_{x} v_{y} - v_{x} u_{y} = (x_{b} - x_{a}) (y_{d} - y c) - (x_{d} - x_{c}) (y_{b} - y_{a}) \\ \sin (θ) & = & \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |} \\ \dots \vec{α} \times \vec{β} = X Y 平 面 に 垂 直 な 成 分 = | \vec{α} | | \vec{β} | \sin (x) \\ \dots 本 来 外 積 は 演 算 に 用 い た 2 つ の ベ ク ト ル に 垂 直 な 軸 の ベ ク ト ル が 演 算 結 果 で あ り \\ \dots \sin (θ) を 求 め る に は 長 さ (絶 対 値) を 取 っ て 計 算 す る こ と に な る の だ が ， \\ \dots こ こ で は X Y 平 面 に 対 し て 垂 直 な 成 分 の み の ベ ク ト ル な の で ， \\ \dots そ の X Y 平 面 に 対 し て 垂 直 な 成 分 を ス カ ラ ー と し て 扱 う こ と で 長 さ (絶 対 値) と し て 扱 う の と 異 な り \\ \dots \sin (θ) < 0 が 扱 え る ． \\ \sin (- θ) & = & \frac{\vec{v} \times \vec{u}}{| \vec{v} | | \vec{u} |} \end{array}

$点 A から交点 G までの長さ \overset{―}{A G}$ と $線分の長さ \overset{―}{A B}$ の比 $\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}$

\begin{array}{rcl} \overset{―}{A E} & = & | \vec{w} | \sin (π - ϕ) \\ = & | \vec{w} | \sin (ϕ) \dots \sin (π - x) = \sin (x) \\ = & | \vec{w} | \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{| \vec{w} | | \vec{v} |} \\ \dots \vec{α} \times \vec{β} = | \vec{α} | | \vec{β} | \sin (x), \sin (x) = \frac{\vec{α} \times \vec{β}}{| \vec{α} | | \vec{β} |} \\ \dots 前 述 の 通 り 外 積 の 結 果 を ス カ ラ ー と し て 扱 う ． \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{| \vec{v} |} \\ \overset{―}{A E} & = & \overset{―}{A G} \sin (π - θ) \\ = & \overset{―}{A G} \sin (θ) \dots \sin (π - x) = \sin (x) \\ \overset{―}{A G} & = & \frac{\overset{―}{A E}}{\sin (θ)} \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{| \vec{v} |} \frac{1}{\sin (θ)} \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{| \vec{v} |} \frac{| \vec{u} | | \vec{v} |}{\vec{u} \times \vec{v}} \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{\vec{u} \times \vec{v}} | \vec{u} | \\ \frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}} & = & \frac{\overset{―}{A G}}{| \vec{u} |} \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{\vec{u} \times \vec{v}} | \vec{u} | \frac{1}{| \vec{u} |} \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{v}}{\vec{u} \times \vec{v}} \\ = & \frac{w_{x} v_{y} - v_{x} w_{y}}{u_{x} v_{y} - v_{x} u_{y}} \\ = & \frac{(x_{c} - x_{a}) (y_{d} - y_{c}) - (x_{d} - x_{c}) (y_{c} - y_{a})}{(x_{b} - x_{a}) (y_{d} - y_{c}) - (x_{d} - x_{c}) (y_{b} - y_{a})} \end{array}

$点 C から交点 G までの長さ \overset{―}{C G}$ と $線分の長さ \overset{―}{C D}$ の比 $\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}$

\begin{array}{rcl} \overset{―}{C F} & = & | - \vec{w} | \sin (π - ψ) \\ = & | - \vec{w} | \sin (ψ) \dots \sin (π - x) = \sin (x) \\ = & | - \vec{w} | \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{| - \vec{w} | | \vec{u} |} \\ \dots \vec{α} \times \vec{β} = | \vec{α} | | \vec{β} | \sin (x), \sin (x) = \frac{\vec{α} \times \vec{β}}{| \vec{α} | | \vec{β} |} \\ \dots 前 述 の 通 り 外 積 の 結 果 を ス カ ラ ー と し て 扱 う ． \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{| \vec{u} |} \\ \overset{―}{C F} & = & \overset{―}{C G} \sin (- (π - θ)) \\ = & \overset{―}{C G} \sin (- θ) \dots \sin (π - x) = \sin (x) \\ \overset{―}{C G} & = & \frac{\overset{―}{C F}}{\sin (- θ)} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{| \vec{u} |} \frac{1}{\sin (- θ)} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{| \vec{u} |} \frac{| \vec{v} | | \vec{u} |}{\vec{v} \times \vec{u}} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{\vec{v} \times \vec{u}} | \vec{v} | \\ \frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}} & = & \frac{\overset{―}{C G}}{| \vec{v} |} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{\vec{v} \times \vec{u}} | \vec{v} | \frac{1}{| \vec{v} |} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{\vec{v} \times \vec{u}} \\ = & \frac{- \vec{w} \times \vec{u}}{- (\vec{u} \times \vec{v})} \dots A \times B = - (B \times A) \\ = & \frac{\vec{w} \times \vec{u}}{\vec{u} \times \vec{v}} \\ = & \frac{w_{x} u_{y} - u_{x} w_{y}}{u_{x} v_{y} - v_{x} u_{y}} \\ = & \frac{(x_{c} - x_{a}) (y_{b} - y_{a}) - (x_{b} - x_{a}) (y_{c} - y_{a})}{(x_{b} - x_{a}) (y_{d} - y_{c}) - (x_{d} - x_{c}) (y_{b} - y_{a})} \end{array}

交点の有無について

\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}

と

\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}

は共に分母に

\vec{u} \times \vec{v}

があるが，これが

0

というのは

\sin (θ) = 0

ということであり，線分同士がなす角

θ

が

0 か π

であり，互いに

\overset{―}{A B}, \overset{―}{C D}

が平行ということなので

交 点 G

を持たない．

0

での割り算を発生させないためこれは例外として

\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}

と

\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}

を求めるより先に判定する必要がある．
その後，

\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}

と

\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}

を求め，共に

0

より大きく

1

以下の値の時，

交 点 G

を持つことになる．それ以外の場合は

交 点 G

が線分の外側に存在することになる．

式展開

XY平面上の線分同士の交点

線分同士の交点

$X Y 平面上の線分 \overset{―}{A B}, \overset{―}{C D}$ の $交点 G$

$点 A から交点 G までの長さ \overset{―}{A G}$ と $線分の長さ \overset{―}{A B}$ の比 $\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}$

$点 C から交点 G までの長さ \overset{―}{C G}$ と $線分の長さ \overset{―}{C D}$ の比 $\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}$

交点の有無について

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式展開

XY平面上の線分同士の交点

線分同士の交点

平面上の線分XY平面上の線分AB―,CD―の交点交点G

点から交点までの長さ点Aから交点Gまでの長さAG―と線分の長さ線分の長さAB―の比AG―AB―

点から交点までの長さ点Cから交点Gまでの長さCG―と線分の長さ線分の長さCD―の比CG―CD―

交点の有無について

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$X Y 平面上の線分 \overset{―}{A B}, \overset{―}{C D}$ の $交点 G$

$点 A から交点 G までの長さ \overset{―}{A G}$ と $線分の長さ \overset{―}{A B}$ の比 $\frac{\overset{―}{A G}}{\overset{―}{A B}}$

$点 C から交点 G までの長さ \overset{―}{C G}$ と $線分の長さ \overset{―}{C D}$ の比 $\frac{\overset{―}{C G}}{\overset{―}{C D}}$