XY平面上の線分同士の交点

線分同士の交点

\(XY平面上の線分\overline{AB},\overline{CD}\)の\(交点G\)

$$ \begin{eqnarray} \overrightarrow{u}&=&\overrightarrow{AB}=(u_x,u_y)=(x_b-x_a, y_b-y_a)\;\cdots\;始点A(x_a,y_a),\;終点B(x_b,y_b) \\\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{CD}=(v_x,v_y)=(x_d-x_c, y_d-y_c)\;\cdots\;始点C(x_c,y_c),\;終点D(x_d,y_d) \\\overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}=(w_x,w_y)=(x_c-x_a, y_c-y_a)\;\cdots\;始点A,\;終点B \\\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}&=&u_xv_y-v_xu_y=(x_b-x_a)(y_d-yc)-(x_d-x_c)(y_b-y_a) \\\sin{\left(\theta\right)}&=&\frac{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|} \\&&\;\cdots\;\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{\beta}=XY平面に垂直な成分=\left|\overrightarrow{\alpha}\right|\left|\overrightarrow{\beta}\right|\sin{\left(x\right)} \\&&\;\cdots\;本来外積は演算に用いた2つのベクトルに垂直な軸のベクトルが演算結果であり \\&&\;\cdots\;\sin{(\theta)}を求めるには長さ(絶対値)を取って計算することになるのだが， \\&&\;\cdots\;ここではXY平面に対して垂直な成分のみのベクトルなので， \\&&\;\cdots\;そのXY平面に対して垂直な成分をスカラーとして扱うことで長さ(絶対値)として扱うのと異なり \\&&\;\cdots\;\sin{(\theta)}\lt0が扱える． \\\sin{\left(-\theta\right)}&=&\frac{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{v}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|} \end{eqnarray} $$

\(点Aから交点Gまでの長さ\overline{AG}\)と\(線分の長さ\overline{AB}\)の比\(\frac{\overline{AG}}{\overline{AB}}\)

$$ \begin{eqnarray} \overline{AE}&=&\left|\overrightarrow{w}\right|\sin{\left(\pi-\phi\right)} \\&=&\left|\overrightarrow{w}\right|\sin{\left(\phi\right)} \;\cdots\;\sin{\left(\pi-x\right)}=\sin{\left(x\right)} \\&=&\left|\overrightarrow{w}\right|\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{w}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|} \\&&\;\cdots\;\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{\beta}=\left|\overrightarrow{\alpha}\right|\left|\overrightarrow{\beta}\right|\sin{\left(x\right)} ,\;\sin{\left(x\right)}=\frac{\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{\beta}}{\left|\overrightarrow{\alpha}\right|\left|\overrightarrow{\beta}\right|} \\&&\;\cdots\;前述の通り外積の結果をスカラーとして扱う． \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \\\overline{AE}&=&\overline{AG}\sin{\left(\pi-\theta\right)} \\&=&\overline{AG}\sin{\left(\theta\right)} \;\cdots\;\sin{\left(\pi-x\right)}=\sin{\left(x\right)} \\\overline{AG}&=&\frac{\overline{AE}}{\sin{\left(\theta\right)}} \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|}\frac{1}{\sin{\left(\theta\right)}} \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{v}\right|}\frac{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}} \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}}\left|\overrightarrow{u}\right| \\\frac{\overline{AG}}{\overline{AB}} &=&\frac{\overline{AG}}{\left|\overrightarrow{u}\right|} \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}}\left|\overrightarrow{u}\right|\frac{1}{\left|\overrightarrow{u}\right|} \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}} \\&=&\frac{w_xv_y-v_xw_y}{u_xv_y-v_xu_y} \\&=&\frac{(x_c-x_a)(y_d-y_c)-(x_d-x_c)(y_c-y_a)}{(x_b-x_a)(y_d-y_c)-(x_d-x_c)(y_b-y_a)} \end{eqnarray} $$

\(点Cから交点Gまでの長さ\overline{CG}\)と\(線分の長さ\overline{CD}\)の比\(\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}}\)

$$ \begin{eqnarray} \overline{CF}&=&\left|-\overrightarrow{w}\right|\sin{\left(\pi-\psi\right)} \\&=&\left|-\overrightarrow{w}\right|\sin{\left(\psi\right)} \;\cdots\;\sin{\left(\pi-x\right)}=\sin{\left(x\right)} \\&=&\left|-\overrightarrow{w}\right|\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\left|-\overrightarrow{w}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|} \\&&\;\cdots\;\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{\beta}=\left|\overrightarrow{\alpha}\right|\left|\overrightarrow{\beta}\right|\sin{\left(x\right)} ,\;\sin{\left(x\right)}=\frac{\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{\beta}}{\left|\overrightarrow{\alpha}\right|\left|\overrightarrow{\beta}\right|} \\&&\;\cdots\;前述の通り外積の結果をスカラーとして扱う． \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{u}\right|} \\\overline{CF}&=&\overline{CG}\sin{\left(-\left(\pi-\theta\right)\right)} \\&=&\overline{CG}\sin{\left(-\theta\right)} \;\cdots\;\sin{\left(\pi-x\right)}=\sin{\left(x\right)} \\\overline{CG}&=&\frac{\overline{CF}}{\sin{\left(-\theta\right)}} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{u}\right|}\frac{1}{\sin{\left(-\theta\right)}} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\left|\overrightarrow{u}\right|}\frac{\left|\overrightarrow{v}\right|\left|\overrightarrow{u}\right|}{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}}\left|\overrightarrow{v}\right| \\\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} &=&\frac{\overline{CG}}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}}\left|\overrightarrow{v}\right|\frac{1}{\left|\overrightarrow{v}\right|} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}} \\&=&\frac{-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{-\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)} \;\cdots\;A\times B=-\left(B\times A\right) \\&=&\frac{\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}} \\&=&\frac{w_xu_y-u_xw_y}{u_xv_y-v_xu_y} \\&=&\frac{(x_c-x_a)(y_b-y_a)-(x_b-x_a)(y_c-y_a)}{(x_b-x_a)(y_d-y_c)-(x_d-x_c)(y_b-y_a)} \end{eqnarray} $$

交点の有無について

\(\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}}\)と\(\frac{\overline{AG}}{\overline{AB}}\)は共に 分母に\(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\)があるが， これが\(0\)というのは\(\sin{\left(\theta\right)}=0\)ということであり，線分同士がなす角\(\theta\)が\(0か\pi\)であり，互いに\(\overline{AB},\overline{CD}\)が平行ということなので\(交点G\)を持たない． \(0\)での割り算を発生させないためこれは例外として\(\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}}\)と\(\frac{\overline{AG}}{\overline{AB}}\)を求めるより先に判定する必要がある．
その後，\(\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}}\)と\(\frac{\overline{AG}}{\overline{AB}}\)を求め，共に\(0\)より大きく\(1\)以下の値の時，\(交点G\)を持つことになる． それ以外の場合は\(交点G\)が線分の外側に存在することになる．