式展開

間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．

多角形の頂点座標から重心を求める (グリーンの定理を用いて面積分を周回積分にして求める)

グリーンの定理(Green's theorem)

閉曲線Cで囲まれた領域Dを考える場合，C1級凾数P(x,y),Q(x,y)について以下が成り立つ。 ∬D(∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y)dxdy=∮CP(x,y)dx+Q(x,y)dy

面積分を周回積分へ変形し，区間毎の積分に展開する

Dの重心のX座標XGは XG=∬Dρ(x,y)xdxdy=∬D1Axdxdy⋯密度は均一と仮定:ρ(x,y)=1A(定数,A:Dの面積)=1A∬Dxdxdy⋯∫XcA(x)dx=c∫XA(x)dx であり，これをグリーンの定理の式で満たすために例えば Q(x,y)=12x2P(x,y)=0 とおく(それぞれ一階微分可能で連続(C1級凾数))．これは ∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y=x−0=x となり，グリーンの定理の面積分側の被積分凾数を表現できている．
このP,Qを用いて周回積分側の 被積分凾数を求めると以下のようになる． XG=1A∬Dxdxdy=1A∬D(∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y)dxdy=1A∮CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=1A∮C0dx+12x2dy=1A∮C12x2dy=12A∮Cx2dy ここで周回積分を多角形として考える．多角形の各頂点の列を以下のように与えるとする． (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn)=(x0,y0)  

 

 


 周回積分を多角形の区間ごとに分割し，区間毎の積分の和として以下のようになる． XG=12A∮Cx2dy=12A∑k=1n∫(xk−1,yk−1)(xk,yk)x2dy 同様にDの重心のY座標YGは YG=∬Dρ(x,y)ydxdy=∬D1Aydxdy⋯密度は均一と仮定:ρ(x,y)=1A(定数,A:Dの面積)=1A∬Dydxdy⋯∫XcA(x)dx=c∫XA(x)dx であり，これをグリーンの定理の式で満たすために例えば Q(x,y)=0P(x,y)=−12y2 とおく(それぞれ一階微分可能で連続(C1級凾数))．これは ∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y=0−(−y)=y となり，やはりグリーンの定理の面積分側の被積分凾数を表現できている．
このP,Qを用いて周回積分側の 被積分凾数を求めると以下のようになる． YG=1A∬Dydxdy=1A∬D(∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y)dxdy=1A∮CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=1A∮C−12y2dx+0dy=1A∮C−12y2dx=−12A∮Cy2dx X座標同様に周回積分を多角形の区間ごとに分割し，区間毎の積分の和として以下のようになる． YG=−12A∮Cy2dx=−12A∑k=1n∫(xk−1,yk−1)(xk,yk)y2dx

多角形の頂点間線分(辺)に重なる直線の式を求める

多角形の各頂点において今の頂点(xk,yk)とその前の頂点(xk−1,yk−1)とを通る直線の式は以下のように求められる． y−yk−1=yk−yk−1xk−xk−1(x−xk−1)⋯傾きθの直線における原点を，点(p,q)へ移動した式と同じ．(y−q)=θ(x−p)x−xk−1=xk−xk−1yk−yk−1(y−yk−1) x−xk−1=xk−xk−1yk−yk−1(y−yk−1)x=xk−xk−1yk−yk−1(y−yk−1)+xk−1x=xk−xk−1yk−yk−1y+xk−xk−1yk−yk−1(−yk−1)+xk−1=xk−xk−1yk−yk−1y+(xk−xk−1)(−yk−1)+xk−1(yk−yk−1)yk−yk−1=xk−xk−1yk−yk−1y+−xkyk−1+xk−1yk−1+xk−1yk−xk−1yk−1yk−yk−1=xk−xk−1yk−yk−1y+−xkyk−1+xk−1ykyk−yk−1=xk−xk−1yk−yk−1y+xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1 y−yk−1=yk−yk−1xk−xk−1(x−xk−1)y=yk−yk−1xk−xk−1(x−xk−1)+yk−1=yk−yk−1xk−xk−1x+yk−yk−1xk−xk−1(−xk−1)+yk−1=yk−yk−1xk−xk−1x+(−xk−1)(yk−yk−1)+(xk−xk−1)yk−1xk−xk−1=yk−yk−1xk−xk−1x+−xk−1yk+xk−1yk−1+xkyk−1−xk−1yk−1xk−xk−1=yk−yk−1xk−xk−1x+−xk−1yk+xkyk−1xk−xk−1=yk−yk−1xk−xk−1x+xkyk−1−xk−1ykxk−xk−1

区間毎の積分より重心を求める

区間毎の積分の和の式における被積分凾数に，先ほど求めた直線の式を代入し積分を行う．まずX座標XGについて進める． XG=12A∑k=1n∫(xk−1,yk−1)(xk,yk)x2dy=12A∑k=1n∫yk−1yk(xk−xk−1yk−yk−1y+xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2dy⋯x=xk−xk−1yk−yk−1y+xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1=12A∑k=1n∫yk−1yk{(xk−xk−1yk−yk−1y)2+2(xk−xk−1yk−yk−1y)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2}dy⋯x=(A+B)2=A2+2AB+B2=12A∑k=1n{∫yk−1yk(xk−xk−1yk−yk−1y)2dy+∫yk−1yk2(xk−xk−1yk−yk−1y)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)dy+∫yk−1yk(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2dy}⋯∫X(A(x)+B(x)+C(x))dx=∫XA(x)dx+∫XB(x)dx+∫XC(x)dx=12A∑k=1n{(xk−xk−1yk−yk−1)2∫yk−1yky2dy+2(xk−xk−1yk−yk−1)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)∫yk−1ykydy+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2∫yk−1ykdy}⋯∫XcA(x)dx=c∫XA(x)dx=12A∑k=1n{(xk−xk−1yk−yk−1)2[13y3]yk−1yk+2(xk−xk−1yk−yk−1)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)[12y2]yk−1yk+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2[y]yk−1yk}=12A∑k=1n{13(xk−xk−1yk−yk−1)2[y3]yk−1yk+122(xk−xk−1yk−yk−1)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)[y2]yk−1yk+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2[y]yk−1yk}=12A∑k=1n{13(xk−xk−1yk−yk−1)2(yk3−yk−13)+(xk−xk−1yk−yk−1)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)(yk2−yk−12)+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2(yk−yk−1)} {}の中をまとめる． XG=12A∑k=1n{13(xk−xk−1yk−yk−1)2(yk3−yk−13)+(xk−xk−1yk−yk−1)(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)(yk2−yk−12)+(xk−1yk−xkyk−1yk−yk−1)2(yk−yk−1)}=12A∑k=1n1(yk−yk−1)2{13(xk−xk−1)2(yk3−yk−13)+(xk−xk−1)(xk−1yk−xkyk−1)(yk2−yk−12)+(xk−1yk−xkyk−1)2(yk−yk−1)}=12A∑k=1n13(yk−yk−1)2{(xk−xk−1)2(yk−yk−1)(yk2+ykyk−1+yk−12)+3(xk−xk−1)(xk−1yk−xkyk−1)(yk−yk−1)(yk+yk−1)+3(xk−1yk−xkyk−1)2(yk−yk−1)}⋯A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2),A2−B2=(A−B)(A+B)=12A∑k=1n(yk−yk−1)3(yk−yk−1)2{(xk−xk−1)2(yk2+ykyk−1+yk−12)+3(xk−xk−1)(xk−1yk−xkyk−1)(yk+yk−1)+3(xk−1yk−xkyk−1)2}=12A∑k=1n13(yk−yk−1){(xk−xk−1)2(yk2+ykyk−1+yk−12)+3(xk−1yk−xkyk−1){(xk−xk−1)(yk+yk−1)+(xk−1yk−xkyk−1)}}=12A∑k=1n13(yk−yk−1){(xk−xk−1)2(yk2+ykyk−1+yk−12)+3(xk−1yk−xkyk−1)(xkyk−xk−1yk−1)}=12A∑k=1n13(yk−yk−1){(xk2−2xkxk−1+xk−12)(yk2+ykyk−1+yk−12)+3(xk−1yk−xkyk−1)(xkyk−xk−1yk−1)}=12A∑k=1n13(yk−yk−1)(xk2yk2+xk2ykyk−1+xk2yk−12−2xkxk−1yk2−2xkxk−1ykyk−1−2xkxk−1yk−12+xk−12yk2+xk−12ykyk−1+xk−12yk−12+3xkxk−1yk2−3xk−12ykyk−1−3xk2ykyk−1+3xkxk−1yk−12)=12A∑k=1n13(yk−yk−1)(xk2yk2+xk2yk−12+xk−12yk2+xk−12yk−12+xkxk−1yk2+xkxk−1yk−12−2xk2ykyk−1−2xk−12ykyk−1−2xkxk−1ykyk−1)=12A∑k=1n13(yk−yk−1)(xk2(yk2+yk−12)+xk−12(yk2+yk−12)+xkxk−1(yk2+yk−12)−2ykyk−1(xk2+xkxk−1+xk−12))=12A∑k=1n13(yk−yk−1){(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk2+yk−12)−2ykyk−1(xk2+xkxk−1+xk−12)}=12A∑k=1n13(yk−yk−1)(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk2−2ykyk−1+yk−12)=12A∑k=1n13(yk−yk−1)(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)2=12A∑k=1nyk−yk−13(yk−yk−1)(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)=12A∑k=1n13(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)=12A13∑k=1n(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)=16A∑k=1n(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1) 多角形の頂点座標から，その重心のX座標XGが求められた．
同様に重心のY座標YGは以下のようになる． YG=−12A∑k=1n∫(xk−1,yk−1)(xk,yk)y2dy=−12A∑k=1n∫xk−1xk(yk−yk−1xk−xk−1x+xkyk−1−xk−1ykxk−xk−1)2dy⋯y=yk−yk−1xk−xk−1x+xkyk−1−xk−1ykxk−xk−1=−16A∑k=1n(yk2+ykyk−1+yk−12)(xk−xk−1)

例:正四角形

(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4=x0,y4=y0)=(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0)A=1 XG=16A∑k=1n(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)=16⋅1{(12+1⋅0+02)(0−0)+(12+1⋅1+12)(1−0)+(02+0⋅1+12)(1−1)+(02+0⋅0+02)(0−1)}=16(0+3+0+0)=163=12 YG=−16A∑k=1n(yk2+ykyk−1+yk−12)(xk−xk−1)=−16⋅1{(02+0⋅0+02)(1−0)+(12+1⋅0+02)(1−1)+(12+1⋅1+12)(0−1)+(02+0⋅1+12)(0−0)}=−16(0+0−3+0)=−16(−3)=12 よって重心は以下の点になる． (XG,YG)=(12,12)

例:二等辺三角形

(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3=x0,y3=y0)=(0,0),(1,0),(12,1),(0,0)A=12 XG=16A∑k=1n(xk2+xkxk−1+xk−12)(yk−yk−1)=16⋅12[(12+1⋅0+02)(0−0)+{(12)2+12⋅1+12}(1−0)+{02+0⋅12+(12)2}(0−1)]=13(0+74−14)=1364=12 YG=−16A∑k=1n(yk2+ykyk−1+yk−12)(xk−xk−1)=−16⋅12{(02+0⋅0+02)(1−0)+(12+1⋅0+02)(12−1)+(02+0⋅1+12)(0−12)}=−13(0−12−12)=−13(−1)=13 よって重心は以下の点になる． (XG,YG)=(12,13)
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