事後分布/分配凾数

分配凾数

$$ \begin{eqnarray} x^n&=&(x_1, x_2, \dots,x_n)&\;\dots\;&n個の標本\\ p(x)&&真の確率分布\\ p(x^n)&=&\displaystyle\prod^n_{i=1}p(x_i)\\ &=&p(x_1)p(x_2) \dots p(x_n)\\ X^n&=&(X_1, X_2,\dots,X_n)&\;\dots\;&x^nを実現値と考えるn個の確率変数\\ &&&&(x^nをp(x)上の分布から得られたものと考える)\\ \end{eqnarray} $$

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$$ \begin{eqnarray} q(x;\theta)&&パラメータ\thetaを用いた推定確率分布(確率モデル)\\ \pi(\theta)&&事前分布\\ \beta&&逆温度 0\lt\beta\lt\infty\\ q(\theta;X^n)&=&\frac{1}{Z_n(\beta)}\pi(\theta)\displaystyle\prod_{i=1}^{n}q(X_i;\theta)^{\beta}\;\dots\;逆温度\betaにおけるパラメータ\thetaの事後分布．\\ Z_n(\beta)&=&\int_\Theta \pi(\theta) \displaystyle\prod_{i=1}^n q(X_i;\theta)^{\beta}\mathrm{d}\theta\;\dots\;分配凾数(\beta=1の時，周辺尤度)\\ &&パラメータ\thetaの逆温度\betaにおける事後分布の総和を1とするための定数\\ \end{eqnarray} $$