冪指数として対数を持つ場合

\(a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}\)

$$\begin{eqnarray} &&a^{\log_{b}c}\\ &=&a^{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}&\;\cdots\;&\log_AB=\frac{\log_CA}{\log_CB}(底の変換)\\ &=&\left(a^{\log_{a}c}\right)^{\frac{1}{\log_{a}b}}&\;\cdots\;&A^{BC}=\left(A^B\right)^C\\ &=&c^{\frac{1}{\log_{a}b}}&\;\cdots\;&A^{\log_AB}=B\\ &=&c^{\log_{b}a}&\;\cdots\;&\href{https://shikitenkai.blogspot.com/2022/02/blog-post.html}{a^{\frac{1}{\log_{b}c}}=a^{\log_{c}b}} \end{eqnarray}$$

冪指数として対数の逆数を持つ場合

\(a^{\frac{1}{\log_{b}c}}=a^{\log_{c}b}\)

$$\begin{eqnarray} &&a^{\frac{1}{\log_{b}c}}\\ &=&a^{\frac{1}{\frac{\log_{c}c}{\log_{c}b}}}&\;\cdots\;&\log_AB&=\frac{\log_CA}{\log_CB}(底の変換)\\ &=&a^{\frac{\log_{c}b}{\log_{c}c}}&\;\cdots\;&\frac{1}{\frac{A}{B}}&=\frac{B}{A}\\ &=&a^{\frac{\log_{c}b}{1}}&\;\cdots\;&\log_AA&=1\\ &=&a^{\log_{c}b} \end{eqnarray}$$