コーシーの積分公式

コーシーの積分公式

\(K\)を単連結な(穴のない)領域とし，\(f(z)\)は\(K\)上で正則である(微分可能な)複素凾数とする． \(C\)を\(K\)内のある単純(自己交点を持たない)閉曲線であるとし，\(D\)を\(C\)の内部の領域とする． \(z\)を\(D\)内の任意の一点とすると，この時以下が成り立つ． $$\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta&=&f(z)&\;\ldots\;z\in D \end{eqnarray}$$ \(f(z)\)の係数となる\(\frac{1}{\zeta-z}\)が\(\zeta=z\)で微分不可(特異点)となる．

\(z\)を\(D\)の外の場合

$$\begin{eqnarray} \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/08/blog-post.html}{\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=0\;\ldots\;z\notin D} \end{eqnarray}$$ 積分対象全域で正則のままなので，\(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\)を改めて\(f(z)\)と考えてコーシーの積分定理が成り立つ．

特異点を囲む微小半径の円(単純閉曲線)を考える

積分経路を\(C\)は\(z\)を含むかどうかが問題なので，\(z\)を中心とした半径\(\varepsilon\)の経路\(C^\prime\)に置き換えて考える． $$\begin{eqnarray} \oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta &=&\oint_{C\prime}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\;\ldots\;C\prime:|\zeta-z|=\varepsilon \\\zeta&=&z+\varepsilon e^{i\theta}　(0\le\theta<2\pi) \\\frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}\theta}&=&\varepsilon \cdot ie^{i\theta} \\\mathrm{d}\zeta&=&i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\\oint_{C\prime}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta &=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)}{z+\varepsilon e^{i\theta}-z}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\ \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)}{\varepsilon e^{i\theta}}i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \\ \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}i\int_0^{2\pi}f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)d\theta \\&=&\lim_{\varepsilon\rightarrow0}i\int_0^{2\pi}f\left(z+\varepsilon e^{i\theta}\right)d\theta \\&=&i\int_0^{2\pi}f\left(z\right)d\theta \\&=&if\left(z\right)\int_0^{2\pi}d\theta \\&=&if\left(z\right)2\pi \\&=&2\pi if\left(z\right) \\\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta&=&2\pi if\left(z\right) \\f\left(z\right)&=&\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \end{eqnarray}$$

コーシーの積分定理

コーシーの積分定理(Cauchy's Integral Theorem)

\(K\)を単連結な(穴のない)領域とし，\(f(z)\)は\(K\)上で正則である(微分可能な)複素凾数とする． \(C\)を\(K\)内のある単純(自己交点を持たない)閉曲線であるとし，\(D\)を\(C\)の内部の領域とすると，この時以下が成り立つ． $$\begin{eqnarray} \oint_C f(\zeta)\mathrm{d}\zeta&=&0 \end{eqnarray}$$

グリーンの定理(Green's theorem)

閉曲線\(C\)で囲まれた領域\(D\)を考える場合，\(C^1\)級凾数\(P(x, y), Q(x, y)\)について以下が成り立つ。 $$ \begin{eqnarray} \iint_D \left(\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y &=& \oint_C P(x, y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y \end{eqnarray} $$

グリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式より

$$\begin{eqnarray} \oint_C f(\zeta)\mathrm{d}\zeta &=&\oint_C \left\{u(x, y) + i v(x, y)\right\}(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y) \\&=&\oint_C \left\{u(x, y)\mathrm{d}x + i v(x, y)\mathrm{d}x+u(x, y)i\mathrm{d}y + i v(x, y)i\mathrm{d}y\right\} \\&=&\oint_C \left\{u(x, y)\mathrm{d}x - v(x, y)\mathrm{d}y\right\}+ i \left\{v(x, y)\mathrm{d}x+u(x, y)\mathrm{d}y \right\} \\&=&\iint_D \left\{-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y + i \iint_D \left\{\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\&&\;\ldots\;グリーンの定理:\oint_C\left(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\right) =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \\&=&-\iint_D \left\{\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y + i \iint_D \left\{\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\right\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\&=&-\iint_D 0\mathrm{d}x\mathrm{d}y+ i \iint_D 0\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\&&\;\ldots\;K上で正則凾数なのでコーシー・リーマンの関係式がなりたつ \href{https://shikitenkai.blogspot.com/2021/07/blog-post_19.html}{\left\{\begin{array} \\\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y} \\\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} \end{array}\right.} \\&=&0+i0=0 \end{eqnarray}$$