コーシーの積分公式

コーシーの積分公式

$K$を単連結な(穴のない)領域とし，$f(z)$は$K$上で正則である(微分可能な)複素凾数とする． $C$を$K$内のある単純(自己交点を持たない)閉曲線であるとし，$D$を$C$の内部の領域とする． $z$を$D$内の任意の一点とすると，この時以下が成り立つ． $$\begin{array}{rclr}\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta & =& f(z)& \dots z\in D\end{array}$$ $f(z)$の係数となる$\frac{1}{\zeta -z}$が$\zeta =z$で微分不可(特異点)となる．

$z$を$D$の外の場合

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta =0\dots z\notin D\end{array}$$ 積分対象全域で正則のままなので，$\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}$を改めて$f(z)$と考えてコーシーの積分定理が成り立つ．

特異点を囲む微小半径の円(単純閉曲線)を考える

積分経路を$C$は$z$を含むかどうかが問題なので，$z$を中心とした半径$\epsilon$の経路$C^{\prime }$に置き換えて考える． $$\begin{array}{rcl}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta & =& {\oint }_{C\prime }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta \dots C\prime :|\zeta -z|=\epsilon \\ \zeta & =& z+\epsilon e^{i\theta } (0\le \theta <2\pi )\\ \frac{\mathrm{d}\zeta }{\mathrm{d}\theta }& =& \epsilon \cdot i{e}^{i\theta }\\ \mathrm{d}\zeta & =& i\epsilon e^{i\theta }d\theta \\ {\oint }_{C\prime }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta & =& \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z+\epsilon e^{i\theta })}{z+\epsilon e^{i\theta }-z}i\epsilon e^{i\theta }d\theta \\ \\ & =& \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z+\epsilon e^{i\theta })}{\epsilon e^{i\theta }}i\epsilon e^{i\theta }d\theta \\ \\ & =& \underset{\epsilon \to 0}{lim}i{\int }_0^{2\pi }f(z+\epsilon e^{i\theta })d\theta \\ & =& \underset{\epsilon \to 0}{lim}i{\int }_0^{2\pi }f(z+\epsilon e^{i\theta })d\theta \\ & =& i{\int }_0^{2\pi }f\left(z\right)d\theta \\ & =& if\left(z\right){\int }_0^{2\pi }d\theta \\ & =& if\left(z\right)2\pi \\ & =& 2\pi if\left(z\right)\\ {\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta & =& 2\pi if\left(z\right)\\ f\left(z\right)& =& \frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta \end{array}$$

コーシーの積分定理

コーシーの積分定理(Cauchy's Integral Theorem)

$K$を単連結な(穴のない)領域とし，$f(z)$は$K$上で正則である(微分可能な)複素凾数とする． $C$を$K$内のある単純(自己交点を持たない)閉曲線であるとし，$D$を$C$の内部の領域とすると，この時以下が成り立つ． $$\begin{array}{rcl}{\oint }_{C}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta & =& 0\end{array}$$

グリーンの定理(Green's theorem)

閉曲線$C$で囲まれた領域$D$を考える場合，$C^1$級凾数$P(x,y),Q(x,y)$について以下が成り立つ。 $$\begin{array}{rcl}{\iint }_D(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y& =& {\oint }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

グリーンの定理とコーシー・リーマンの関係式より

$$\begin{array}{rcl}{\oint }_{C}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta & =& {\oint }_C\{u(x,y)+iv(x,y)\}(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)\\ & =& {\oint }_C\{u(x,y)\mathrm{d}x+iv(x,y)\mathrm{d}x+u(x,y)i\mathrm{d}y+iv(x,y)i\mathrm{d}y\}\\ & =& {\oint }_C\{u(x,y)\mathrm{d}x-v(x,y)\mathrm{d}y\}+i\{v(x,y)\mathrm{d}x+u(x,y)\mathrm{d}y\}\\ & =& {\iint }_D\{-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+i{\iint }_D\{\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \dots \mathrm{グ}\mathrm{リ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{理}:{\oint }_C(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\\ & =& -{\iint }_D\{\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+i{\iint }_D\{\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =& -{\iint }_{D}0\mathrm{d}x\mathrm{d}y+i{\iint }_{D}0\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \dots K\mathrm{上}\mathrm{で}\mathrm{正}\mathrm{則}\mathrm{凾}\mathrm{数}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}\mathrm{コ}\mathrm{ー}\mathrm{シ}\mathrm{ー}\mathrm{・}\mathrm{リ}\mathrm{ー}\mathrm{マ}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{式}\mathrm{が}\mathrm{な}\mathrm{り}\mathrm{た}\mathrm{つ}\{\begin{array}{}\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y}\\ \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}=-\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}\end{array}\\ & =& 0+i0=0\end{array}$$