xe^(-ax)の広義積分[0,∞]

\(xe^{-ax}\)の広義積分\([0,\infty]\)

\begin{eqnarray} \int_0^\infty xe^{-ax} \mathrm{d}x &=&\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^n xe^{-ax} \mathrm{d}x \\&=&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[ \left[x \cdot \frac{-1}{a}e^{-ax} \right]_0^n - \int_0^n \frac{-1}{a} \cdot e^{-ax} \mathrm{d}x \right] \\&=&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[ \left[n \frac{-1}{a}e^{-an} - 0 \cdot \frac{-1}{a}e^{-a 0}\right] + \frac{1}{a} \int_0^n e^{-ax} \mathrm{d}x \right] \\&=&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[ n \frac{-1}{a}e^{-an} + \frac{1}{a} \int_0^n \cdot e^{-ax} \mathrm{d}x \right] \\&=&\frac{-1}{a}\lim_{n\rightarrow\infty} ne^{-an} + \frac{1}{a} \lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^n \cdot e^{-ax} \mathrm{d}x \\&=&0 + \frac{1}{a}\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^n e^{-ax} \mathrm{d}x \\&&指数凾数\left(e^{-x}\right)の方が線形凾数\left(x\right)より早く漸近化するので\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-ax}=0が収束先となる． \\&=&\frac{1}{a}\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^n e^{-ax} \mathrm{d}x \\&=&\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}\;\ldots\;\int_0^\infty e^{-ax} \mathrm{d}x=\frac{1}{a} \\&=&\frac{1}{a^2} \end{eqnarray}