間違いしかありません.コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください).

ガンマ凾数の相反公式の積分表示

ガンマ凾数の相反公式の積分表示

ベータ凾数のガンマ凾数での表示

B(p,q)|p=1q=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)|p=1qp,qC,Re(p),Re(q)>0=Γ(1q)Γ(q)Γ(1q+q)=Γ(1q)Γ(q)Γ(1)=Γ(1q)Γ(q)1Γ(1)=0t11etdt=0t0etdt=01etdt=0etdt0etdt=11=1=Γ(1q)Γ(q)

ベータ凾数の定義での表示

B(p,q)|p=1q=01tp1(1t)q1dt=0(1x+1)p1(11x+1)q11(x+1)2dxt=1x+1,x=1t1,dtdx=1(x+1)2t:01,x:0=0(1x+1)p1(11x+1)q11(x+1)2dx=0(1x+1)p1(xx+1)q11(x+1)2dx=01p1xq11(x+1)p1(x+1)q1(x+1)2dx=0xq1(x+1)(p1)+(q1)+2dx=0xq1(x+1)p+qdx=0xq1(x+1)1q+qdx=0xq1x+1dx

ガンマ凾数の相反公式の積分表示

Γ(1q)Γ(q)=0xq1x+1dx

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