1/(1-x)のマクローリン展開(ただし-1<x<1)

\(\frac{1}{1-x}\)のマクローリン展開(\(ただし-1<x<1\))

a点まわりのテイラー展開

\begin{eqnarray} f(x) &=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{x!}(x-a)^k \;\ldots\;a点まわりのテイラー展開 \\&=& \frac{1}{0!}f^{(0)}(a)(x-a)^0+\frac{1}{1!}f^{(1)}(a)(x-a)^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\dotsb \\&&\;\ldots\;f^{(n)}(x): f(x)のn階微分 \end{eqnarray}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

\begin{eqnarray} f(x) &=& \left.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{x!}(x-a)^k\right|_{a=0} \\&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{x!}(x-0)^k \\&=& \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{x!}(x)^k \\&=& \frac{1}{0!}f^{(0)}(0)x^0+\frac{1}{1!}f^{(1)}(0)x+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)x^2+\cdots \end{eqnarray}

マクローリン展開(0点まわりのテイラー展開)

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x}&=&\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}f^{\left(k\right)}\left(0\right)x^k\;\ldots\;(ただし\;-1\lt x \lt1) \\&=&\frac{1}{0!}\left[\left(1-x\right)^{-1}\right]_{x=0}x^0 +\frac{1}{1!}\left[-\left(1-x\right)^{-1-1}(-1)\right]_{x=0}x^1 +\frac{1}{2!}\left[-2\left(1-x\right)^{-2-1}(-1)\right]_{x=0}x^2 +\frac{1}{3!}\left[-6\left(1-x\right)^{-3-1}(-1)\right]_{x=0}x^3 +\cdots \\&=&1+x+x^2+x^3+\cdots \end{eqnarray}$$