対称行列の二乗のトレースは，元の対称行列の各要素の二乗の和

$2\times 2$の対称行列

$$\begin{array}{rcl}{S}_2& =& \left[\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right]\cdots S:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ {\left(S_2\right)}^2& =& \left[\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ y& z\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{cc}{x}^2+y^2& xy+yz\\ xy+yz& y^2+z^2\end{array}\right]\cdots {\left(S_2\right)}^2\mathrm{も}\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ tr\left({\left(S_2\right)}^2\right)& =& (x^2+y^2)+(y^2+z^2)\cdots \mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る},trace\\ & =& x^2+2y^2+z^2\\ & =& \sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots s_{ij}:\left(S_2\right)\mathrm{の}i\mathrm{行}j\mathrm{列}\mathrm{要}\mathrm{素}\\ & =& \sum _{i=1}^2{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i\ne j}^2{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素},\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{上}\mathrm{側}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{除}\mathrm{い}\mathrm{た}\mathrm{部}\mathrm{分}\\ & =& \sum _{i=1}^2{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i<j}^{2}2{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}{s}_{ji}=s_{ij}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}i<j\mathrm{の}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}2\mathrm{倍}\end{array}$$

$3\times 3$の対称行列

$$\begin{array}{rcl}{S}_3& =& \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right]\cdots S:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ {\left(S_3\right)}^2& =& \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{ccc}{a}^2+b^2+c^2& ab+bd+ce& ac+be+cf\\ ab+bd+ce& b^2+d^2+e^2& bc+de+ef\\ ac+be+cf& bc+de+ef& c^2+e^2+f^2\end{array}\right]\cdots {\left(S_3\right)}^2\mathrm{も}\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ tr\left({\left(S_3\right)}^2\right)& =& (a^2+b^2+c^2)+(b^2+d^2+e^2)+(c^2+e^2+f^2)\cdots \mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る},trace\\ & =& a^2+2b^2+2c^2+d^2+2e^2+f^2\\ & =& \sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots s_{ij}:\left(S_3\right)\mathrm{の}i\mathrm{行}j\mathrm{列}\mathrm{要}\mathrm{素}\\ & =& \sum _{i=1}^3{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i\ne j}^3{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素},\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{上}\mathrm{側}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{除}\mathrm{い}\mathrm{た}\mathrm{部}\mathrm{分}\\ & =& \sum _{i=1}^3{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i<j}^{3}2{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}{s}_{ji}=s_{ij}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}i<j\mathrm{の}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}2\mathrm{倍}\end{array}$$

$N\times N$の対称行列

$$\begin{array}{rcl}{S}_N& =& \left[\begin{array}{cccc}{s}_{11}& s_{12}& \cdots & s_{1N}\\ s_{12}& s_{22}& \cdots & s_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{1N}& s_{2N}& \cdots & s_{NN}\end{array}\right]\cdots S:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ {\left(S_N\right)}^2& =& \left[\begin{array}{cccc}{s}_{11}& s_{12}& \cdots & s_{1N}\\ s_{12}& s_{22}& \cdots & s_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{1N}& s_{2N}& \cdots & s_{NN}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{s}_{11}& s_{12}& \cdots & s_{1N}\\ s_{12}& s_{22}& \cdots & s_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{1N}& s_{2N}& \cdots & s_{NN}\end{array}\right]\\ & =& \left[\begin{array}{cccc}{s}_{11}^2+s_{12}^2+\cdots +s_{1N}^2& s_{11}{s}_{12}+s_{12}{s}_{22}+\cdots +s_{1N}{s}_{2N}& \cdots & s_{11}{s}_{1N}+s_{12}{s}_{2N}+\cdots +s_{1N}{s}_{NN}\\ s_{11}{s}_{12}+s_{12}{s}_{22}+\cdots +s_{1N}{s}_{2N}& s_{12}^2+s_{22}^2+\cdots +s_{2N}^2& \cdots & s_{12}{s}_{1N}+s_{22}{s}_{2N}+\cdots +s_{2N}{s}_{NN}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{11}{s}_{1N}+s_{12}{s}_{2N}+\cdots +s_{1N}{s}_{NN}& s_{12}{s}_{1N}+s_{22}{s}_{2N}+\cdots +s_{2N}{s}_{NN}& \cdots & s_{N1}^2+s_{N2}^2+\cdots +s_{NN}^2\end{array}\right]\cdots {\left(S_N\right)}^2\mathrm{も}\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\\ tr\left({\left(S_N\right)}^2\right)& =& (s_{11}^2+s_{12}^2+\cdots +s_{1N}^2)+(s_{12}^2+s_{22}^2+\cdots +s_{2N}^2)+\cdots +(s_{N1}^2+s_{N2}^2+\cdots +s_{NN}^2)\cdots \mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{足}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{わ}\mathrm{せ}\mathrm{る},trace\\ & =& s_{11}^2+2s_{12}^2+\cdots +2s_{1N}^2+s_{22}^2+2s_{23}^2+\cdots +2s_{2N}^2+\cdots +s_{NN}^2\\ & =& \sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots s_{ij}:\left(S_N\right)\mathrm{の}i\mathrm{行}j\mathrm{列}\mathrm{要}\mathrm{素}\\ & =& \sum _{i=1}^N{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i\ne j}^N{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素},\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{上}\mathrm{側}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{対}\mathrm{角}\mathrm{要}\mathrm{素}\mathrm{を}\mathrm{除}\mathrm{い}\mathrm{た}\mathrm{部}\mathrm{分}\\ & =& \sum _{i=1}^N{\left(s_{ii}\right)}^2+\sum _{i<j}^{N}2{\left(s_{ij}\right)}^2\cdots \mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{項}:\mathrm{対}\mathrm{称}\mathrm{行}\mathrm{列}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}{s}_{ji}=s_{ij}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}i<j\mathrm{の}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}2\mathrm{倍}\end{array}$$