\(2\times2\)の対称行列
$$\begin{eqnarray}
S_2&=&\begin{bmatrix}
x & y \\
y & z
\end{bmatrix}
\;\cdots\;S:対称行列
\\\left(S_2\right)^2&=&\begin{bmatrix}
x & y \\
y & z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x & y \\
y & z
\end{bmatrix}
\\&=&
\begin{bmatrix}
x^2+y^2 & xy+yz \\
xy+yz & y^2+z^2
\end{bmatrix}
\;\cdots\;\left(S_2\right)^2も対称行列
\\tr\left(\left(S_2\right)^2\right)&=&\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+z^2\right)
\;\cdots\;対角要素を足し合わせる,\;trace
\\&=&x^2+2y^2+z^2
\\&=&\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;s_{ij}:\left(S_2\right)のi行j列要素
\\&=&\sum_{i=1}^{2}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\neq j}^{2}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第一項:対角要素,第二項:上側三角行列から対角要素を除いた部分
\\&=&\sum_{i=1}^{2}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\lt j}^{2}2\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第二項:対称行列なのでs_{ji}=s_{ij}なのでi\lt jの条件とすると2倍
\end{eqnarray}$$
\(3\times3\)の対称行列
$$\begin{eqnarray}
S_3&=&\begin{bmatrix}
a & b & c\\
b & d & e\\
c & e & f
\end{bmatrix}
\;\cdots\;S:対称行列
\\\left(S_3\right)^2&=&\begin{bmatrix}
a & b & c\\
b & d & e\\
c & e & f
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b & c\\
b & d & e\\
c & e & f
\end{bmatrix}
\\&=&
\begin{bmatrix}
a^2+b^2+c^2 & ab+bd+ce & ac+be+cf \\
ab+bd+ce & b^2+d^2+e^2 & bc+de+ef \\
ac+be+cf & bc+de+ef & c^2+e^2+f^2
\end{bmatrix}
\;\cdots\;\left(S_3\right)^2も対称行列
\\tr\left(\left(S_3\right)^2\right)&=&\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(b^2+d^2+e^2\right)+\left(c^2+e^2+f^2\right)
\;\cdots\;対角要素を足し合わせる,\;trace
\\&=&a^2+2b^2+2c^2+d^2+2e^2+f^2
\\&=&\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;s_{ij}:\left(S_3\right)のi行j列要素
\\&=&\sum_{i=1}^{3}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\neq j}^{3}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第一項:対角要素,第二項:上側三角行列から対角要素を除いた部分
\\&=&\sum_{i=1}^{3}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\lt j}^{3}2\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第二項:対称行列なのでs_{ji}=s_{ij}なのでi\lt jの条件とすると2倍
\end{eqnarray}$$
\(N\times N\)の対称行列
$$\begin{eqnarray}
S_N&=&\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1N}\\
s_{12} & s_{22} & \cdots & s_{2N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
s_{1N} & s_{2N} & \cdots & s_{NN}\\
\end{bmatrix}
\;\cdots\;S:対称行列
\\\left(S_N\right)^2&=&\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1N}\\
s_{12} & s_{22} & \cdots & s_{2N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
s_{1N} & s_{2N} & \cdots & s_{NN}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1N}\\
s_{12} & s_{22} & \cdots & s_{2N}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
s_{1N} & s_{2N} & \cdots & s_{NN}\\
\end{bmatrix}
\\&=&
\begin{bmatrix}
s_{11}^2+s_{12}^2+\cdots+s_{1N}^2 & s_{11}s_{12}+s_{12}s_{22}+\cdots+s_{1N}s_{2N} & \cdots & s_{11}s_{1N}+s_{12}s_{2N}+\cdots+s_{1N}s_{NN} \\
s_{11}s_{12}+s_{12}s_{22}+\cdots+s_{1N}s_{2N} & s_{12}^2+s_{22}^2+\cdots+s_{2N}^2 & \cdots & s_{12}s_{1N}+s_{22}s_{2N}+\cdots+s_{2N}s_{NN} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
s_{11}s_{1N}+s_{12}s_{2N}+\cdots+s_{1N}s_{NN} & s_{12}s_{1N}+s_{22}s_{2N}+\cdots+s_{2N}s_{NN} & \cdots & s_{N1}^2+s_{N2}^2+\cdots+s_{NN}^2
\end{bmatrix}
\;\cdots\;\left(S_N\right)^2も対称行列
\\tr\left(\left(S_N\right)^2\right)&=&\left(s_{11}^2+s_{12}^2+\cdots+s_{1N}^2\right)+\left(s_{12}^2+s_{22}^2+\cdots+s_{2N}^2\right)+\cdots+\left( s_{N1}^2+s_{N2}^2+\cdots+s_{NN}^2 \right)
\;\cdots\;対角要素を足し合わせる,\;trace
\\&=&s_{11}^2+2s_{12}^2+\cdots+2s_{1N}^2+s_{22}^2+2s_{23}^2+\cdots+2s_{2N}^2+\cdots+s_{NN}^2
\\&=&\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;s_{ij}:\left(S_N\right)のi行j列要素
\\&=&\sum_{i=1}^{N}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\neq j}^{N}\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第一項:対角要素,第二項:上側三角行列から対角要素を除いた部分
\\&=&\sum_{i=1}^{N}\left(s_{ii}\right)^2+\sum_{i\lt j}^{N}2\left(s_{ij}\right)^2
\;\cdots\;第二項:対称行列なのでs_{ji}=s_{ij}なのでi\lt jの条件とすると2倍
\end{eqnarray}$$
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