式展開

間違いしかありません．コメントにてご指摘いただければ幸いです(気が付いた点を特に断りなく頻繁に書き直していますのでご注意ください)．

共分散(covariance)

共分散(covariance)

Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]⋯共分散(covariance)Cov[c0Xi,c1Xj]=E[(c0Xi−E[c0Xi])(c1Xj−E[c1Xj])]⋯Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[(c0Xi−c0E[X¯])(c1Xj−c1E[X¯])]⋯E[cX]=cE[X]=E[c0(Xi−E[X¯])c1(Xj−E[X¯])]=c0c1E[(Xi−E[X¯])(Xj−E[X¯])]⋯E[cX]=cE[X]=c0c1Cov[Xi,Xj]V[∑i=1nXi]=V[X1+⋯+Xi+⋯+Xn]=E[{(X1+⋯+Xi+⋯+Xn)−E[X1+⋯+Xi+⋯+Xn]}2]=E[{X1+⋯+Xi+⋯+Xn−E[X1]−⋯−E[Xi]−⋯−E[Xn]}2]=E[{(X1−E[X1])+⋯+(Xi−E[Xi])+⋯+(Xn−E[Xn])}2]=E[(X1−E[X1])2+⋯+(X1−E[X1])(Xj−E[Xj])+⋯+(X1−E[X1])(Xn−E[Xn])+⋯+(Xi−E[Xi])(X1−E[X1])+⋯+(Xi−E[Xi])(Xj−E[Xj])+⋯+(Xi−E[Xi])(Xn−E[Xn])+⋯+(Xn−E[Xn])(X1−E[X1])+⋯+(Xn−E[Xn])(Xj−E[Xj])+⋯+(Xn−E[Xn])2]=E[(X1−E[X1])2]+⋯+E[(X1−E[X1])(Xj−E[Xj])]+⋯+E[(X1−E[X1])(Xn−E[Xn])]+⋯+E[(Xi−E[Xi])(X1−E[X1])]+⋯+E[(Xi−E[Xi])(Xj−E[Xj])]+⋯+E[(Xi−E[Xi])(Xn−E[Xn])]+⋯+E[(Xn−E[Xn])(X1−E[X1])]+⋯+E[(Xn−E[Xn])(Xj−E[Xj])]+⋯+E[(Xn−E[Xn])2]⋯E[X+Y]=E[X]+E[Y]=Cov[X1,X1]+⋯+Cov[X1,Xj]+⋯+Cov[X1,Xn]+⋯+Cov[Xi,X1]+⋯+Cov[Xi,Xj]+⋯+Cov[Xi,Xn]+⋯+Cov[Xn,X1]+⋯+Cov[Xn,Xj]+⋯+Cov[Xn,Xn]=∑i=1n∑j=1nCov[Xi,Xj]⋯E[(Xi−E[Xi])(Xj−E[Xj])]=Cov[Xi,Xj]=∑i=1nCov[Xi,Xi]+2∑i<jCov[Xi,Xj]⋯Covの項はCov[Xi,Xj]=Cov[Xj,Xi]でi<jとi>jで2回あるので2倍=∑i=1nV[Xi]+2∑i<jCov[Xi,Xj]⋯Cov[Xi,Xi]=V[Xi]
時刻:
ラベル: ,

0 件のコメント:

コメントを投稿

登録: コメントの投稿 (Atom)