母集団の尖度

母集団(平均 \(\mu\), 分散 \(\sigma^2\))の尖度\(\beta_2\)

\begin{array}{rcl} \beta_2 &=& \frac{\mathrm{E}\left[\left(X-\mu\right)^4\right]}{ \mathrm{V}\left[ X \right]^{\frac{4}{2}} }-3\;\cdots\;尖度(せんど,\;kurtosis)\\ &=& \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3\\ && \,\dotso\, \mu_4 = \mathrm{E}\left[\left(X-\mu\right)^3\right] \,\,\, \left(確率変数Xの母平均\muまわりの4次モーメント=確率変数Xの4次の中心(化)モーメント\right)\\ \end{array}

確率変数\(X\)の母平均\(\mu\)まわりの4次のモーメント\(\mu_4\)を尖度\(\beta_2\)で表す

\begin{array}{rcl} \mu_4 &=& (\beta_2-3)\sigma^4\\ \end{array}