母集団の尖度

母集団(平均 $\mu$, 分散 ${\sigma }^2$)の尖度${\beta }_2$

$$\begin{array}{rcl}{\beta }_2& =& \frac{\mathrm{E}\left[{(X-\mu )}^4\right]}{\mathrm{V}{\left[X\right]}^{\frac{4}{2}}}-3\cdots \mathrm{尖}\mathrm{度}(\mathrm{せ}\mathrm{ん}\mathrm{ど},kurtosis)\\ & =& \frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3\\ & & \dots {\mu }_4=\mathrm{E}\left[{(X-\mu )}^3\right](\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{変}\mathrm{数}X\mathrm{の}\mathrm{母}\mathrm{平}\mathrm{均}\mu \mathrm{ま}\mathrm{わ}\mathrm{り}\mathrm{の}4\mathrm{次}\mathrm{モ}\mathrm{ー}\mathrm{メ}\mathrm{ン}\mathrm{ト}=\mathrm{確}\mathrm{率}\mathrm{変}\mathrm{数}X\mathrm{の}4\mathrm{次}\mathrm{の}\mathrm{中}\mathrm{心}(\mathrm{化})\mathrm{モ}\mathrm{ー}\mathrm{メ}\mathrm{ン}\mathrm{ト})\end{array}$$

確率変数$X$の母平均$\mu$まわりの4次のモーメント${\mu }_4$を尖度${\beta }_2$で表す

$$\begin{array}{rcl}{\mu }_4& =& ({\beta }_2-3){\sigma }^4\end{array}$$