式展開: 標本平均の母平均まわりの4次モーメント (標本平均の4次の中心(化)モーメント)

標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(=標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)

\begin{array}{rcl} E [(\overset{―}{X} - μ)^{4}] & = & E [{(\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}) - μ}^{4}] \dots \overset{―}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \\ = & E [{(\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k}) - (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} μ)}^{4}] \dots C = \frac{n}{n} C = \frac{1}{n} C \sum_{i = 1}^{n} 1 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} C (C : i に よ ら な い 数 ， \sum に と っ て 定 数) \\ = & E [{[\frac{1}{n} {(\sum_{k = 1}^{n} X_{k}) - (\sum_{k = 1}^{n} μ)}]}^{4}] \\ = & E [\frac{1}{n^{4}} {(\sum_{k = 1}^{n} X_{k}) - (\sum_{k = 1}^{n} μ)}^{4}] \dots (A B)^{C} = A^{C} B^{C} \\ = & E [\frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - μ)}^{4}] \dots \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - Y_{i}) \end{array}

総和の指数計算において掛け合わせる添え字の組合せについて考える．

\begin{array}{rcl} {(\sum_{k = 1}^{n} A_{k})}^{4} & = & (\sum_{k = 1}^{n} A_{k}) (\sum_{l = 1}^{n} A_{l}) (\sum_{m = 1}^{n} A_{m}) (\sum_{s = 1}^{n} A_{s}) \\ = & (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{k} + \dots + A_{n}) (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{l} + \dots + A_{n}) (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{m} + \dots + A_{n}) (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{s} + \dots + A_{n}) \\ = & _{4} P_{0} \times (\sum_{k = 1}^{n} A_{k}^{4}) \dots 4 つ と も 同 じ 添 え 字 (ど れ か 0 個 の 添 え 字 が 異 な る ケ ー ス) \\ +_{4} P_{1} \times (\sum_{k \neq l} A_{k}^{3} A_{l}) \dots い ず れ か 3 つ が 同 じ 添 え 字 (ど れ か 1 個 の 添 え 字 が 異 な る の ケ ー ス) \\ +_{4} C_{2} \times (\sum_{k < l} A_{k}^{2} A_{l}^{2}) \dots い ず れ か 2 つ の 添 え 字 が 同 じ で 残 り の 2 つ の 添 え 字 同 士 も 同 じ ケ ー ス (ど れ か 2 個 の 添 え 字 が 異 な る の ケ ー ス (異 な っ た 添 え 字 同 士 も 同 じ)) \\ +_{4} P_{2} \times (\sum_{k \neq l, m か つ l < m} A_{k}^{2} A_{l} A_{m}) \dots い ず れ か 2 つ の 添 え 字 が 同 じ で 残 り の 2 つ の 添 え 字 同 士 は 異 な る ケ ー ス (ど れ か 2 個 の 添 え 字 が 異 な る の ケ ー ス (異 な っ た 添 え 字 同 士 は 異 な る)) \\ +_{4} P_{3} \times (\sum_{k < l < m < s} A_{k} A_{l} A_{m} A_{s}) \dots す べ て の 添 え 字 が 異 な る ケ ー ス (ど れ か 3 個 の 添 え 字 が 異 な る の ケ ー ス) \\ \dots 各 ケ ー ス で の (重 複 す る 数 \times 組 合 せ で 総 和) の 和 \\ = & \frac{4!}{(4 - 0)!} (\sum_{k = 1}^{n} A_{k}^{4}) + \frac{4!}{(4 - 1)!} (\sum_{k \neq l} A_{k}^{3} A_{l}) + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} (\sum_{k < l} A_{k}^{2} A_{l}^{2}) + \frac{4!}{(4 - 2)!} (\sum_{k \neq l, m か つ l < m} A_{k}^{2} A_{l} A_{m}) + \frac{4!}{(4 - 3)!} (\sum_{k < l < m < s} A_{k} A_{l} A_{m} A_{s}) \\ = & \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} (\sum_{k = 1}^{n} A_{k}^{4}) + \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} (\sum_{k \neq l} A_{k}^{3} A_{l}) + \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \cdot 2 \times 1} (\sum_{k < l} A_{k}^{2} A_{l}^{2}) + \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} (\sum_{k \neq l, m か つ l < m} A_{k}^{2} A_{l} A_{m}) + \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} (\sum_{k < l < m < s} A_{k} A_{l} A_{m} A_{s}) \\ = & 1 \cdot (\sum_{k = 1}^{n} A_{k}^{4}) + 4 \cdot (\sum_{k \neq l} A_{k}^{3} A_{l}) + 6 \cdot (\sum_{k < l} A_{k}^{2} A_{l}^{2}) + 12 \cdot (\sum_{k \neq l, m か つ l < m} A_{k}^{2} A_{l} A_{m}) + 24 \cdot (\sum_{k < l < m < s} A_{k} A_{l} A_{m} A_{s}) \end{array}

よって，

\begin{array}{rcl} E [(\overset{―}{X} - μ)^{4}] & = & E [\frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - μ)}^{4}] \\ = & E [\frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} {(X_{k} - μ)}^{4} + 4 \sum_{k \neq l} {(X_{k} - μ)}^{3} (X_{l} - μ) + 6 \sum_{k < l} {(X_{k} - μ)}^{2} {(X_{l} - μ)}^{2} + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} {(X_{k} - μ)}^{2} (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) + 24 \sum_{k < l < m < s} (X_{k} - μ) (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) (X_{s} - μ)}] \\ = & \frac{1}{n^{4}} E [\sum_{k = 1}^{n} {(X_{k} - μ)}^{4} + 4 \sum_{k \neq l} {(X_{k} - μ)}^{3} (X_{l} - μ) + 6 \sum_{k < l} {(X_{k} - μ)}^{2} {(X_{l} - μ)}^{2} + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} {(X_{k} - μ)}^{2} (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) + 24 \sum_{k < l < m < s} (X_{k} - μ) (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) (X_{s} - μ)] \dots E [c X] = c E [X] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [E [\sum_{k = 1}^{n} {(X_{k} - μ)}^{4}] + E [4 \sum_{k \neq l} {(X_{k} - μ)}^{3} (X_{l} - μ)] + E [6 \sum_{k < l} {(X_{k} - μ)}^{2} {(X_{l} - μ)}^{2}] + E [12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} {(X_{k} - μ)}^{2} (X_{l} - μ) (X_{m} - μ)] + E [24 \sum_{k < l < m < s} (X_{k} - μ) (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) (X_{s} - μ)]] \dots E [X + Y] = E [X] + E [Y] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [E [\sum_{k = 1}^{n} {(X_{k} - μ)}^{4}] + 4 E [\sum_{k \neq l} {(X_{k} - μ)}^{3} (X_{l} - μ)] + 6 E [\sum_{k < l} {(X_{k} - μ)}^{2} {(X_{l} - μ)}^{2}] + 12 E [\sum_{k \neq l, m か つ l < m} {(X_{k} - μ)}^{2} (X_{l} - μ) (X_{m} - μ)] + 24 E [\sum_{k < l < m < s} (X_{k} - μ) (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) (X_{s} - μ)]] \dots E [c X] = c E [X] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 4 \sum_{k \neq l} E [{(X_{k} - μ)}^{3} (X_{l} - μ)] + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2} {(X_{l} - μ)}^{2}] + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} E [{(X_{k} - μ)}^{2} (X_{l} - μ) (X_{m} - μ)] + 24 \sum_{k < l < m < s} E [(X_{k} - μ) (X_{l} - μ) (X_{m} - μ) (X_{s} - μ)]] \\ \dots E [\sum_{i = 1}^{n} A_{i}] = E [A_{1} + A_{2} + \dots + A_{i} + \dots + A_{n}] = E [A_{1}] + E [A_{2}] + \dots + E [A_{i}] + \dots + E [A_{n}] = \sum_{i = 1}^{n} E [A_{i}] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 4 \sum_{k \neq l} E [{(X_{k} - μ)}^{3}] E [(X_{l} - μ)] + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [{(X_{l} - μ)}^{2}] + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [(X_{l} - μ)] E [(X_{m} - μ)] + 24 \sum_{k < l < m < s} E [(X_{k} - μ)] E [(X_{l} - μ)] E [(X_{m} - μ)] E [(X_{s} - μ)]] \dots X, Y が 独 立 の 場 合 E [X Y] = E [X] E [Y] \end{array}

1次の中心(化)モーメントについて考える．

\begin{array}{rcl} E [X_{i} - μ] & = & E [X_{i}] - E [μ] \dots E [X - Y] = E [X] - E [Y] \\ = & μ - μ \dots E [X_{i}] = E [X] = μ, E [C] = C (C 定 数) \\ = & 0 \end{array}

これを用いて

\begin{array}{rcl} E [(\overset{―}{X} - μ)^{4}] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 4 \sum_{k \neq l} E [{(X_{k} - μ)}^{3}] E [(X_{l} - μ)] + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [{(X_{l} - μ)}^{2}] + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [(X_{l} - μ)] E [(X_{m} - μ)] + 24 \sum_{k < l < m < s} E [(X_{k} - μ)] E [(X_{l} - μ)] E [(X_{m} - μ)] E [(X_{s} - μ)]] \\ = & \frac{1}{n^{4}} [\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 4 \sum_{k \neq l} (E [{(X_{k} - μ)}^{3}] \cdot 0) + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [{(X_{l} - μ)}^{2}] + 12 \sum_{k \neq l, m か つ l < m} (E [{(X_{k} - μ)}^{2}] \cdot 0 \cdot 0) + 24 \sum_{k < l < m < s} (0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0)] \dots E [X_{i} - μ] = 0 \\ = & \frac{1}{n^{4}} [\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 0 + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [{(X_{l} - μ)}^{2}] + 0 + 0] \\ = & \frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} E [{(X_{k} - μ)}^{4}] + 6 \sum_{k < l} E [{(X_{k} - μ)}^{2}] E [{(X_{l} - μ)}^{2}]} \\ = & \frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} μ_{4} + 6 \sum_{k < l} (σ^{2} \cdot σ^{2})} \dots E [{(X_{i} - μ)}^{4}] = μ_{4} : 4 次 の 中 心 (化) モ ー メ ン ト, E [{(X_{i} - μ)}^{2}] = σ^{2} : 2 次 の 中 心 (化) モ ー メ ン ト \\ = & \frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} μ_{4} + 6 \sum_{k < l} σ^{4}} \\ = & \frac{1}{n^{4}} {\sum_{k = 1}^{n} μ_{4} + 6 σ^{4} \sum_{k < l} 1} \\ = & \frac{1}{n^{4}} {n μ_{4} + 6 \frac{n (n - 1)}{2} σ^{4}} \dots \sum_{k < l} 1 = \frac{n (n - 1)}{2} (各 k = 1 〜 n - 1 に 対 し て l = k + 1 か ら l = n ま で の 和) \\ = & \frac{1}{n^{3}} (μ_{4} + 3 (n - 1) σ^{4}) \\ = & μ_{4} (\overset{―}{X}) \dots μ_{4} (\overset{―}{X}) : 標 本 平 均 \overset{―}{X} の 母 平 均 μ ま わ り の 4 次 モ ー メ ン ト (4 次 の 中 心 (化) モ ー メ ン ト) \end{array}

標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)を尖度 $β_{2}$ で表す

\begin{array}{rcl} E [(\overset{―}{X} - μ)^{4}] & = & μ_{4} (\overset{―}{X}) \\ = & \frac{1}{n^{3}} (μ_{4} + 3 (n - 1) σ^{4}) \\ = & \frac{1}{n^{3}} (\frac{β_{2} + 3}{σ^{4}} + 3 (n - 1) σ^{4}) \dots μ_{4} = \frac{β_{2} + 3}{σ^{4}} : 4 次 の 中 心 (化) モ ー メ ン ト \\ = & \frac{1}{n^{3}} (\frac{β_{2} + 3 + 3 (n - 1)}{σ^{4}}) \\ = & \frac{1}{n^{3}} (\frac{β_{2} + 3 + 3 n - 3}{σ^{4}}) \\ = & \frac{1}{n^{3}} (\frac{β_{2} + 3 n}{σ^{4}}) \end{array}

標本平均 $\overset{―}{X}$ の尖度 $β_{2} (\overset{―}{X})$

\begin{array}{r} β_{2} (\overset{―}{X}) = \frac{β_{2}}{n} \end{array}

式展開

標本平均の母平均まわりの4次モーメント (標本平均の4次の中心(化)モーメント)

標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(=標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)

標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)を尖度 $β_{2}$ で表す

標本平均 $\overset{―}{X}$ の尖度 $β_{2} (\overset{―}{X})$

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式展開

標本平均の母平均まわりの4次モーメント (標本平均の4次の中心(化)モーメント)

標本平均X―の母平均μまわりの4次モーメント(=標本平均X―の4次の中心(化)モーメント)

標本平均X―の母平均μまわりの4次モーメント(標本平均X―の4次の中心(化)モーメント)を尖度β2で表す

標本平均X―の尖度β2(X―)

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標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(=標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)

標本平均 $\overset{―}{X}$ の母平均 $μ$ まわりの4次モーメント(標本平均 $\overset{―}{X}$ の4次の中心(化)モーメント)を尖度 $β_{2}$ で表す

標本平均 $\overset{―}{X}$ の尖度 $β_{2} (\overset{―}{X})$