式展開: 7月 2022

$\int_{0}^{\infty} x e^{- α x^{2}} d x$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x e^{- α x^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \sqrt{\frac{t}{α}} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ \dots t = α x^{2}, x = 0 \to t = 0, x = \infty \to t = \infty, \\ \dots x = \sqrt{\frac{t}{α}} (積 分 範 囲 か ら x \geq 0 と す る (?)) \\ \dots \frac{d t}{d x} = 2 α x, d x = \frac{1}{2 α x} d t = \frac{1}{2 α \sqrt{\frac{t}{α}}} d t = \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} {(\frac{t}{α})}^{\frac{1}{2}} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \frac{1}{2 α^{\frac{1}{2}} \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α} \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α} \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α} \int_{0}^{\infty} t^{0} \cdot e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α} \int_{0}^{\infty} t^{1 - 1} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α} Γ (1) \dots Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re (z) > 0) \\ = & \frac{1}{2 α} (1 - 1)! \dots Γ (n) = (n - 1)! (n は 自 然 数) \\ = & \frac{1}{2 α} \cdot 1 \dots 0! = 1 \\ = & \frac{1}{2 α} \end{array}

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- α x^{2}} d x$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- α x^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{t}{α} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ \dots t = α x^{2}, x = 0 \to t = 0, x = \infty \to t = \infty, \\ \dots x^{2} = \frac{t}{α} \\ \dots x = \sqrt{\frac{t}{α}} (積 分 範 囲 か ら x \geq 0 と す る (?)) \\ \dots \frac{d t}{d x} = 2 α x, d x = \frac{1}{2 α x} d t = \frac{1}{2 α \sqrt{\frac{t}{α}}} d t = \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{t}{α} e^{- t} \frac{1}{2 \sqrt{α t}} d t \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} \frac{t}{\sqrt{t}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t t^{- \frac{1}{2}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{3}{2} - 1} e^{- t} d t \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} Γ (\frac{3}{2}) \dots Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re (z) > 0) \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} Γ (\frac{1}{2} + 1) \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \frac{(2 \cdot 1 - 1)!!}{2^{1}} \sqrt{π} \dots Γ (\frac{1}{2} + n) = \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n}} \sqrt{π} (!! は 二 重 階 乗) (n は 自 然 数) \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \frac{1!!}{2} \sqrt{π} \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \frac{1}{2} \sqrt{π} \dots n の 二 重 階 乗 は ， 1 か ら n ま で n と 同 じ 偶 奇 性 を 持 つ も の だ け を 全 て 掛 け た 積 \\ = & \frac{1}{2 α \sqrt{α}} \frac{1 \sqrt{π}}{2} \\ = & \frac{1}{4 α} \sqrt{\frac{π}{α}} \end{array}

式展開

x・exp(-α x^2)の広義積分[0,∞]

$\int_{0}^{\infty} x e^{- α x^{2}} d x$

x^2・exp(-α x^2) の広義積分[0, ∞]

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- α x^{2}} d x$

式展開

x・exp(-α x^2)の広義積分[0,∞]

∫0∞xe−αx2dx

x^2・exp(-α x^2) の広義積分[0, ∞]

∫0∞x2e−αx2dx

$\int_{0}^{\infty} x e^{- α x^{2}} d x$

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- α x^{2}} d x$